二変数の極値の候補点の取り方

質問

二変数の極値の候補点の取り方についての質問です。
まず教科書に載っている例題なのですが
x^2+y^2=4の条件のもとで、xyが極値をとる候補点を求めよ。
という問題なのですが、答えは
(√2,1/√2) (√2,-1/√2) (-√2,1/√2) (-√2,-1/√2)
の四つになっています。
これについては納得できます。

しかし、

x^2+y^2=1の条件のもとで、2x+yが極値を獲る候補点を求めよ。
という問題では
(2/√5 , 1/√5) (-2/√5,-1/√5)
の二つになっています。
僕の考えでは候補点を計算する際にx=±2/√5 y=±1/√5 となったので候補点は
(2/√5 , 1/√5) (-2/√5,-1/√5)　(2/√5,-1/√5) (-2/√5,1/√5)
の四つになるのではないかと思うのです。

どうして解答は(2/√5 , 1/√5) (-2/√5,-1/√5)になるのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

f(x,y) = 2x + y, g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 と置いて，
h(x,y,λ) = f - λg が停留値をとる条件を求めると，
次の3つの式が得られます(ラグランジュの未定乗数法)：

1 - λx = 0, …(1)
1 - 2λy = 0, …(2)
x^2 + y^2 = 0. …(3)

(1)より x = 1/λ，(2)より y = 1/(2λ).
これらを(3)に代入すると，

1/λ^2 + 1/(4λ^2) = 1.

∴ λ = ±√5 /2.

i) λ = +√5 /2 の場合，

x = 1/λ = 2/√5,
y = 1/(2λ) = 1/√5.

ii) λ = -√5 /2 の場合，

x = 1/λ = -2/√5,
y = 1/(2λ) = -1/√5.

なので，(x,y) = (2/√5, 1/√5)，(-2/√5, -1/√5) の2通りしかありません．

以上を λ= ±√5 /2 と表現して，x, y を求める場合，
x = 1/λ = ±2/√5, y = 1/(2λ) = ±1/√5
となりますが，それぞれの±は好き勝手に+でも-でも採れるわけではなく，
λとして+の値を採るならば，
x も y もλが+の場合の値を採らなければなりませんし，
λとして-の値を採るならば，
x も y もλが-の場合の値を採らなければなりません．

こんな長ったらしい説明をいちいち書く代わりに，
普通は，「以上，複号同順」と添え書きします．

お礼

御回答ありがとうございます。

なるほど、勝手に採っていいわけではなかったんですね。
よく分かりました。
有難うございました

回答No.2

noname#154783

ANo.1です．
すみません，タイプミスです．

[誤] x^2 + y^2 = 0. …(3)
↓
[正] x^2 + y^2 = 1. …(3)

ほんとにすみません．