積分 問題

質問

積分　問題

∫（1/cos^3x）dxについて、テキストの回答が理解できません・・・

∫（cosx/cos^4x）dx
=∫（cosx/（1-sin^2x）^2）
sinx=tとおいて
∫（1/（1-t^2）^2）dx
=∫（1/（（1-t^2）（1+t^2）））dx
としているのですが、（1-t^2）^2＝（1-t^2）（1+t^2）
となる理由がわかりません。

∫（1/（（1-t^2）（1+t^2）））dx
=∫1/4{（1/（1+t）＾2）+（1/1+t）+（1/（1-t）＾2）+（1/1-t）}dx
と部分分数分解しているのですが、どのように行えば上記のように部分分数分解出来るのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>sin x=t とおくと
cos x dx=dt となるから

cosx/(1-sin^2 x)^2 dx
={1/(1-sin^2 x)^2} cosx dx
={1/(1-t^2)^2}dt

>∫（1/（1-t^2)^2）dx
間違い。
正：∫（1/（1-t^2)^2）dt

> =∫（1/（（1-t^2）（1+t^2）））dx
間違い。
正：∫（1/{(1-t)^2（1+t)^2}dt

=(1/4)∫{(t+1)^(-1) +(t+1)^(-2) +(1-t)^(-1) +(t-1)^2] dt

部分分数展開は
1/(1-t^2)^2=a/(t+1) +b/(t+1)^2 +c/(t-1) +d/(t-1)^2
とおいて、両辺に(1-t^2)^2を掛けた式がtの恒等式になるように定数a,b,c,dの各次の係数を等しいとおいて、a,b,c,dの連立方程式を解けば、部分分数展開の分子のa,b,c,dが求められるだろう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。

回答No.1

spring135

（1-t^2）^2＝（1-t）^2（1+t)^2
です。