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数III 定積分の問題

以下の定積分の問題が上手く問けません。 ∫{0→π/2}√(1+sinx)dx というものなのですが、 1+sinx=tとおいて置換積分をすると dx=dt/cosx となって、tとxが一緒に出てきてしまいってどうしたら良いか分からず、sinx=tとおいても同じような結果になってしまいました。 π/2-x=tとおいてもsinがcosに入れ替わっただけになってしまい、煮詰まってしまいました。 ヒントや考え方の指針でも良いので教えて頂けると嬉しいです。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)
回答No.1

√(1 + sinx) = { √(1 + sinx) } / 1 = { √(1 + sinx) }{ √(1 - sinx) } / { √(1 - sinx) } ({ √(1 - sinx) }で通分) = { √(1 - sin^2x) } / { √(1 - sinx) } = { √(cos^2x) } / { √(1 - sinx) } = | cosx | / { √(1 - sinx) } 0 ≦ x ≦ π/2のとき、0 ≦ cosxなので|cosx| = cosx ∴| cosx | / { √(1 - sinx)} = cosx / { √(1 - sinx) } つまり√(1 + sinx) = cosx / { √(1 - sinx) } (0 ≦ x ≦ π/2) 1 - sinx = tとおけば、置換積分ができると思います。

oshieyou
質問者

お礼

早速の回答ありがとうございます! 1 - sinx = tとおくことには気づきませんでした。ここまでくれば解けます!!まだまだ勉強が足りませんでした。頑張ります。

その他の回答 (1)

  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)
回答No.2

1+sinx={cos(x/2)+sin(x/2)}^2。。。。。終り。。。。笑

oshieyou
質問者

お礼

こういう変形の仕方もあるんですね!気が付きませんでした。 回答ありがとうございます。

oshieyou
質問者

補足

どちらの意見も参考になったのですが、早い順にありがとうポイントを付けたいと思います。ありがとうございました。

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