小５の算数です

質問

問題：正方形の紙を横とたてに１回ずつ折る作業を１回の操作として紙を折り返します。次に折り返した正方形の紙の４つの角を直角二等辺三角形になるように切り取ります。最期に残った紙を広げると正方形の穴が１つできました。

(1)２回の操作をしたあと正方形の紙の４つの角を切り取ると、広げたときに正方形の穴は何個できるか
(2)広げたときにできる正方形の穴の個数が5000個をこえるのは何回の操作をしたときか

この問題の解き方、考え方がわかりません。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

１回の操作をすると、紙を開いたときに、折り目を境にして４等分、つまり、４つの正方形ができますよね。
このとき、横と縦の折り目の交点の数はいくつかというと、紙のど真ん中に１つだけです。
折った状態でハサミを入れると、その交点のところに小さい正方形の穴ができます。それは、２回目以降の操作をしたときでも同じです。
つまり、開いたときの折り目の交点の数を数えれば、その数こそが穴ができる数なのです。

１回の操作では横・縦それぞれ２等分で、折り目は横・縦それぞれ２－１＝１本で、交点は１×１＝１個
２回の操作では横・縦それぞれ４等分で、折り目は横・縦それぞれ４－１＝３本で、交点は３×３＝９個
３回の操作では横・縦それぞれ８等分で、折り目は横・縦それぞれ８－１＝７本で、交点は７×７＝４９個
・・・・・

つまり、
１回で、（２－１）×（２－１）　＝　１
２回で、（４－１）×（４－１）　＝　９　　　　←（１）のこたえ
３回で、（８－１）×（８－１）　＝　４９
４回で、（１６－１）×（１６－１）　＝　２２５
５回で、（３２－１）×（３２－１）　＝　９６１
６回で、（６４－１）×（６４－１）　＝　３９６９
７回で、（１２８－１）×（１２８－１）　＝　１６１２９　　←「７回」が（２）のこたえ

たぶん、現実には、７回も折れる紙はないと思いますが。

お礼

うわぁ、よく分かりました。早速の解答ありがとうございます。