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積分
x^yをyについて積分します。 このときx^yの積分はx^(y+1)/y+1 +constであっていたでしょうか？ 友人の解法はこうだというのですが、自分は高校の時に底がeのものしか習っていないため分かりません。 これであっているのでしょうか？ 仮にxをe以外の定数としてみたならば、微分した時に元に戻らないと思うんです。 x^yをyについて積分するとどうなるか、分かる方ご解答お願いします。 ちなみに元々の問題はx^yの[0,1]×[a,b]上の二重積分を求めよという問題です。
- exymezxy09
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こんにちは。 ＞＞＞このときx^yの積分はx^(y+1)/y+1 +constであっていたでしょうか？ 残念ながら、全然違います。 「＋１」が出現するのは、指数関数ではなくｎ次関数の場合、すなわち、ｙを定数としてｘについて積分するときです。 やってみましょうか。 ｅ^logx ＝ ｘ ですので、 ｘ^y ＝ （ｅ^logx）^y ＝ ｅ^(ylogx) ここで、 ｙlogｘ ＝ ｔ と置けば、 ｄｙlogｘ ＝ ｄｔ よって、 ∫ｘ^y ｄｙ ＝ ∫ｅ^t ｄｙ ＝ ∫ｅ^t／logｘ ｄｔ ＝ ｅ^t／logｘ ＋ Ｃｏｎｓｔ． ＝ ｅ^(ylogx)／logｘ ＋ Ｃｏｎｓｔ． ＝ ｘ^y／logｘ ＋ Ｃｏｎｓｔ．
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