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数列の和について
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{1/k}は調和数列と言いますが、 この部分和は一般的なnの形で表す事ができません。 だいたいの大きさであれば、y = log x との大小で評価する事ができます。 http://www.cfv21.com/math/stepfunc.htm なお、調和数の無限級数は正の無限大に発散します。 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + … > 1/1 + 1/2 +(1/4 + 1/4)+(1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)+ … = 1/1 + 1/2 + + 1/2 + このように、2個、4個、8個…ずつグループ化することで、 1/2がいくつでも作れるからです。 直観に反する不思議な結果ですね。 また、1/(k^2) の無限級数は、なんと(π^2)/6に収束します。 数列の和からπが飛び出すなんて、 これもとても不思議で、数学の魅力がつまった式です。 バーゼル問題 - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C リーマンゼータ関数 - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
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- info22_
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Σ(1/k),[k=1,n]についての和の公式は、一般的な式では表せないため、存在しません。 難しくなりますが、この和は「調和数(harmonic number)」としてHnで定義されています。 詳しくは参考URLをご覧下さい。 Hn≡Σ1/k, (k=1,…,n) ≡γ+ψo(n+1) ここで、 γは Euler-Mascheroni 定数、ψ(x)=ψo(x)はダイガンマ関数です。
- Mr_Holland
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自然数の逆数の和（Σ1/k）は、自然数の冪和（Σk^r,r:自然数）のように、ｎの有限多項式で表すことができません。 定積分や特殊関数であるディ・ガンマ函数を使えば表すことができます。 Σ[k=1→n] 1/k =∫[t=0→1] {1-(1-t)^n}/t dt =γ+ψ(n+1) ただし、γ:オイラーのγ定数（≒0.5772）、ψ:ディ・ガンマ関数 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0 http://books.google.co.jp/books?id=T1EtFNRObVIC&pg=PA428&lpg=PA428&dq=%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0&source=bl&ots=g0nvv0CDah&sig=YQLaM2rrRcytcRTvYUdB3_vIOWg&hl=ja&ei=lhjvTPnPD8WPcc3DsM0K&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBsQ6AEwAQ#v=onepage&q=%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0&f=false 高校数学の範囲を超える内容かと思われます。 もし高校生からの質問でしたら、そのように答えられると良いと思います。
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