数学の大学入試問題がわかりません。

質問

三角形の頂点をA,B,Cとし、これらの頂点を駒が移動する。さいころを振って1が出たら1つ分、2が出たら2つ分、３から6が出たら3つ分、A→B→C→Aの方向に駒を移動させる。駒がAに止まったときは持ち点に2点加え、Bに止まったときは持ち点から1点減点し、Cに止まったときは持ち点はそのままとする。持ち点は負になることもある。さいころの目の出る確率はすべて等しく、最初はAから持ち点0でスタートする。このとき次の問いに答えよ。
(1) このゲームを3回繰り返したとき、持ち点の期待値E(3)を求めよ。
(2) このゲームをn回繰り返したとき、持ち点の期待値E(n)を求めよ。
ただし、n回目にさいころを振った結果、駒がA,B,Cに止まる確率PA(n)、PB(n)、PC(n)は求めてあります。

難しくて解けません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

＞n回目にさいころを振った結果、駒がA,B,Cに止まる確率PA(n)、PB(n)、PC(n)は求めてあります。
なら、もうほとんど解けてる状態かと。＾＾

「期待値」って難しそうですが、単に「平均値」ととらえた方がわかりやすいと思います。
いまの問題であれば、
1) 1回目に得る得点の平均値
2) 2回目に得る得点の平均値
3) 3回目に得る得点の平均値
・・・
n) n回目に得る得点の平均値

を足し合わせればよいですよね。
それぞれでの期待値（平均値）は PA(n), PB(n), PC(n)から計算できますよね。

あとは、数列の和として、計算するだけです。
（nの場合分けとかがあれば、そこは少し面倒かもしれませんが）

お礼

ありがとうございました。
何とか解けました。

回答No.2

Mr_Holland

具体的に式で期待値の求め方を示してみます。

　確率が次のように求められているとします。
　　PA(1)=2/3, PB(1)=PC(1)=1/6
　　PA(2)=1/2, PB(2)=PC(2)=1/4
　　PA(3)=5/12, PB(3)=PC(3)=7/24
　　PA(n)=(1/3)|1+1/2^(n-1)},　PB(n)=PC(n)=(1/3){1-1/2^n}

(1) このゲームを3回繰り返したとき、持ち点の期待値E(3)を求めよ。
　　E(1)=2PA(1)-PB(1)=7/6
　　E(2)=E(1)+2PA(2)-PB(2)=23/12
　　E(3)=E(2)+2PA(3)-PB(3)=59/24

(2) このゲームをn回繰り返したとき、持ち点の期待値E(n)を求めよ。
　設問(1)の計算から　期待値について

　　E(n)=E(n-1)+2PA(n)-PB(n)　　　(n≧2)

という漸化式が成り立つことが分かります。
　この漸化式に、PA(n),PB(n)の一般項を代入して整理することで、E(n)の一般項が得られます。

　　E(n)=E(n-1)+(2/3){1+1/2^(n-1)}-(1/3){1-1/2^n}
　⇔E(n)=E(n-1)+1/3+(5/3)(1/2^n)
　⇔E(n)+(5/3){1/2^n}-n/3 = E(n-1)+(5/3){1/2^(n-1)}-(n-1)/3
　∴E(n)+(5/3)(1/2^n)-n/3 = E(1)+5/6-1/3 =5/3
　∴E(n) =(5/3)(1-1/2^n)+n/3　　　(n≧1)

　よろしければ参考にしてください。

お礼

解いていただいたものを確認する前にベストアンサーを決めてしまいました。
すみません。
でも解答がよくわかりました。
ありがとうございました。