数Iの食塩水の問題と、平方根の問題教えてください。

質問

数Iの食塩水の問題と、平方根の問題教えてください。

（１）
１％の食塩水600ｇから（(1)）gの水を蒸発させれば2％の食塩水になる。更に、食塩を（(2)）g加えれば4％の食塩水が出来る。

解）
(1)
まず、食塩の重さを計算
600*1/100=6(g)
(1)をxとして、
6/(600+x)*100=2(%)
600=2(600+x)
2x=600
x=300
(2)答えは25/4なのですが解方法が分かりません。

（２）
a=3/√5+√2、b=3/√5-√2のとき、a^2+b^2の値を求めよ。答えは14ですが私が計算すると
以下のようになってしまいます。
見づらいとは思いますが、どこが間違って14にならないのかご指摘お願いします。
また、両方共宿題ではなく、過去問やってます。既に社会人ですが、やりたい事があって数年ぶりに受験します。

(3/√5+√2)^2=9/7
(3/√5-√2)^2=9/3
9/7+9/3
=27/21+63/21
=90/21

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

（1）の（2）　加える食塩の量をｙ(g)としますと、 食塩水は 300+y (g) となり、その中に含まれる食塩は　6+y (g) となりますので、次の式が成り立ちます。

　　(6+y)/(300+y)×100=4　（y>0)
　⇔25(6+y)=300+y
　⇔25y-y=300-150
　∴y=25/4 (g)

（２）先ず確認ですが、　a=3/(√5+√2), b=3/(√5-√2) のことですよね？　（分母に√５や√２があるのですよね？）

　だとすれば、(√5-√2)^2 や(√5+√2)^2 の計算に誤りがあります。
　次の展開の公式を思い出してください。
　　　公式I　(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
　　　公式II　(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
　　　公式III　(x+y)(x-y)=x^2-y^2

　従って、a^2,b^2は次のように計算されます。
a^2
={3/(√5+√2)}^2
=9/(5+2√10+2)　　　←上の展開の公式Iを利用。
=9/(7+2√10)
=9(7-2√10)/{(7+2√10)(7-2√10)}　　←分母を有理化する（分母から√をなくす）ため、分母・分子に
(7-2√10)　を掛けます。
=9(7-2√10)/(49-40)　　上の展開の公式IIIを利用。
=7-2√10

b^2
={3/(√5-√2)}^2
=9/(5-2√10+2)　　　←上の展開の公式IIを利用。
=9/(7-2√10)
=9(7+2√10)/{(7-2√10)(7+2√10)}　　←分母を有理化する（分母から√をなくす）ため、分母・分子に
(7+2√10)　を掛けます。
=9(7+2√10)/(49-40)　　上の展開の公式IIIを利用。
=7+2√10

　∴　a^2+b^2=(7-2√10)+(7+2√10) =14

　ところで（２）については別解があります。
　a^2+b^2　という式は　aとbを入れ替えても結果が変わらない式なので　対称式　と呼ばれています。
　与えられた式が対称式の場合　どんなに複雑であっても　a+b と ab とだけで表すことができます。
　この方が与えられた式が複雑になった場合でも楽になりますよ。

　a+b
=3/(√5+√2)+3/(√5-√2)
=3(√5-√2)/{√5+√2)(√5-√2)} + 3(√5+√2)/{√5-√2)(√5+√2)}
=√5-√2 + √5+√2
=2√5

ab
=3/(√5+√2)×3/(√5-√2)
=9/{√5+√2)(√5-√2)}
=3

a^2+b^2
=(a+b)^2-2ab
=(2√5)^2-2×3
=20-6
=14

お礼

別解方法ありがとうございます！
対称式・・そういえば遠い昔習った記憶が・・(^_^;)
試験に出そうなので要チェックしておきます。
(√5+√2)^2や(√5-√2)^2はご指摘されて気づきました。
私は(√5+√2)(√5-√2)=(√5)^2+-(√2)^2でやってしまってました。
解の公式もう一度見直してしっかりしないといけないですね。
あと、塩の問題の計算方法までどうもありがとうございました。
助かりました！
...

回答No.2

BookerL

蒸発すると水の量は減りますから、食塩水の質量は減ります。

＞(1)をxとして、
＞6/(600+x)*100=2(%)

　のところは、

6/(600 － x)*100=2(%)

ですね。この後に計算間違いがあって＜600=2(600+x) から 2x=600 にはなりません＞、なぜか正しい数値になっていますけど。

(2) は、加える食塩を ｙ とすると、食塩の質量は 6+y [g]、食塩水の質量は 300+y [g] となるので、

(6 + y)/(300 + y)*100=4

を解けばいいですね。

　後半は、a=3/√5+√2 の表記がわかりにくいですが、

　a=(3/√5) + √2　ではなくて、a=3/(√5+√2) ですね。

a^2 ＝ (3/(√5+√2))^2 ＝ 3^2/(√5+√2)^2

分母だけ取り出すと、

(√5+√2)^2 ＝ (√5)^2 ＋ 2*√5＊√2 ＋ (√2)^2
　　　　　　＝5 ＋ 2√10 ＋ 2
　　　　　　＝7 ＋ 2√10

あらためて a^2 にもどると

a^2 ＝ 9/(7 ＋ 2√10)
　　＝9(7 － 2√10)/(7 ＋ 2√10)(7 － 2√10)　← 分母を有理化するため
　　＝9(7 － 2√10)/(49 － 40)
　　＝9(7 － 2√10)/9
　　＝7 － 2√10

b^2 も同じようにやってみてください。

お礼

ありがとうございます！
分母の部分は(√5+√2)^2を(√5)^2,(√2)^2で計算してしまっていたのですね。
これは(√5+√2)(√5-√2)の時なら(√5)^2,(√2)^2でいいけど(√5+√2)^2は違いますね
ご指摘受けなきゃパニックで気づかなかったです。
うっかりしてました。ほんと助かりました。
食塩水は計算してみます。簡単そうで食塩水はちょっと難しいです。

回答No.1

tomokoich

(2)は分母を有理化して
a=3/(√5+√2)=3(√5-√2)/(5-2)=√5-√2
b=3/(√5-√2)=3(√5+√2)/(5-2)=√5+√2
a+b=2√5 ab=(√5-√2)(√5-√2)=3 を出しておいて

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(2√5)^2-6=20-6=14

というやり方がわかりやすいです。