行列の問題です。

質問

行列の問題です。

A:n×n行列
x:1×n行列

任意のxに対して、
内積<Ax,x>≧0
(等号はx=0のときのみ)
が成立するとき
Aは正則ですか？

A=(c_i)
c_i:1×n行列,1≦i≦n
として考えていたのですが、うまくいきません…。

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#121794 · ベストアンサー

前にも少しヒント与えて、せいぜい分かる所までは出してほしかった。まあ考えてもうまくいかないなら
もう少し分かりやすく述べてやろう。
x=0のときは<Ax,x>=0でx≠0のとき<Ax,x>≠0ならばAは正則であることを
示せと前に出した。
<Ax,x> = x|(x1c1＋・・・・＋xncn)
Aが正則⇔c1,・・・,cnが一独立⇔実数k1,・・・knが少なくとも一つが0でないならば
　　　　　　　　　　　　　　　　k1c1＋・・・・＋kncn≠0である
これを用いてx≠0のとき<Ax,x>≠0ならばAは正則であるというのはもう分かっただろう。
この先は考えること。

回答No.3

noname#121794

すまん。訂正
「<Ax,x> = x|(x1c1＋・・・・＋xncn)
Aが正則⇔c1,・・・,cnが一独立⇔実数k1,・・・knが少なくとも一つが0でないならば
　　　　　　　　　　　　　　　　k1c1＋・・・・＋kncn≠0である」

→　間違い。正しくは
「<Ax,x> ≠０　ということは　x≠０かつ(x1c1＋・・・・＋xncn)≠０　ここまでは仮定の下。また
Aが正則⇔c1,・・・,cnが一独立⇔実数k1,・・・knが少なくとも一つが0でないならば
　　　　　　　　　　　　　　　　k1c1＋・・・・＋kncn≠0である。」

回答No.1

Tacosan

正則です. 証明方法はいろいろあると思うけど, たとえば対偶を証明する手がある.

お礼

解決しました。
ありがとうございました。

補足

<Ax,x>＞0と<Ax,x>＜0は どのように正則と関係しているのですか？