２つの球面の交わりの円

質問

２つの球面の交わりの円

２点（０、０、１）、（２、２、５）を直径の両端とする球面をＳ１、２点（－１、０、３）、（３、４、１）を直径の両端とする球面をＳ２
とし、Ｓ１、Ｓ２の交わりの円Ｃの中心Ｃの座標と半径を求めよ。

教えてほしいところ
自分は中心間の距離はＯ２の半径より短いのでまず、中心は球２の内部にあると考えました。
そして、中心座標の位置関係と内部にあることから球と球の交点座標はＯ1よりすべて左側にあると判断しました。
しかし、間違いらしいです。僕の考え方のどこが間違いなんでしょうか？？
また、Ｏ２とＰＣが垂直であるとなぜいえるんですか？？

回答No.2

Kules · ベストアンサー

見た感じ根本的に間違えているという風には見えないです。私が個別の講師をしていた時なら
口頭で説明する分には「…う～ん大体そんな感じ」と流しているところでしょう。
しかし、解答でそのような表現で書いてあれば少なくとも△、まあ大抵の場合は×を付けるでしょう。
理由は他の方も指摘している通り「あいまい」だからです。
中心とは何の中心なのか？それは先に文字で置いといた方がいいのではないか？
左ってどちらから見て左なのか？空間上なら表から見るか裏から見るかで左右は変わってしまいます。

ということで、いくつかコメントを。
>自分は中心間の距離はＯ２の半径より短いのでまず、中心は球２の内部にあると考えました。
中心間の距離が球2の半径より短かろうが長かろうが、S1,S2の交わりの円Cの中心Cは必ず球2の内側にきます。(O2とPCが垂直であることから証明可能です)もちろん、球1の内側にもきます。したがって、中心間の距離からCと球2の位置関係を論ずること自体に意味はありませんが、間違ってはいません。

>中心座標の位置関係と内部にあることから球と球の交点座標はＯ1よりすべて左側にあると判断しました。
添付されている断面図の形で描けば右にあることになりそうなんですが。
その断面図自体が間違ってませんんか？
中心間の距離が球2の半径よりも短いということは、球1の中心O1は球2の中に入っているはずです。また、中心間の距離は球1の半径よりも小さいので球2の中心O2も球1の中に入っていると思います。
なので、添付されたような作図をしていればまずそこにチェックを入れるでしょうね。
で、実際お互いの中心がお互いの球の中に入っているような図を書くとわかりますが、CがO1に対してO2の反対側(O1より左側)にあるかどうかはちょっと微妙です。
実際計算してみると確かにぎりぎりO1より左側にありそうです。(余弦定理より∠O2O1Pが鈍角であることがわかります)

上記の計算はちょっと適当にやったので本当に数値の大小関係が合っている保証はありません。自分で確認してみてください。

以上から、
「考え方は全く間違っているというわけではないが、途中に若干の怪しさが残る。また、「左側」といったあいまいな解答の作り方、作図自体が間違っている雰囲気だととても正しく理解しているとは言えない」
というのが私の印象です。

最後にO2⊥PCについてですが、O1O2⊥PCのことですかね？あるいはO2C⊥PCとか。簡単に書きます。
まず、Cをとおって円Cと平行な直線Lを引き、円Cとの交点P1,P2とするとP1,P2は必ず円Cの直径になることはいいですよね？（私自身証明しろって言われたら難しいですが、まあ雰囲気でそうかなって思って下さい。あるいは、円を書いて、中心をとおる直線を引き、それが直径にならないことがあり得ないことを確認してもらっても構いません）

ということで、Cを通って円Cに平行な直線を引き、円Cとの交点P1,P2とします。
P1,P2は球2上の点なのでO2P1=O2P2です。
また、P1,P2は円Cの直径なので、P1C=P2Cです。
よって、三角形O2P1Cと三角形O2P2Cにおいて三角形の合同条件「三辺の長さがそれぞれ等しい」が成り立つので、
△O2P1C≡△O2P2Cとなり、∠O2CP1=∠O2CP2=90°となります。

参考になれば幸いです。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3に転記ミスがありましたので訂正します。

>y=(5±√47)/4,z=(11±√47)/4(復号同順)…(4)
>これから円Cの中心座標Cは
>C(1,5/4,11/4)

以下のように訂正します。
y=(3±√47)/4,z=(13±√47)/4(復号同順)…(4)
これから円Cの中心座標Cは
C(1,3/4,13/4)

また、平面x=1でS1,S2を切断した平面（yz平面）の図を添付しますので参考にして下さい。

回答No.3

info22_

S1:
半径r1={√(2^2+2^2+4^2)}/2=√6,
球の中心座標O1(1,1,3)
S1:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=6…(1)

S2:
半径r2={√(4^2+4^2+2^2)}/2=3,
球の中心座標O2(1,2,2)
S2:(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=9…(2)

S1とS2の中心O1,O2間の距離O1O2=√(0^2+1^2+1^2)=√2

(2)-(1)より
2y-2z+5=0…(3)

x=1の平面で球を切断した断面で考える
(1),(3)から
y=(5±√47)/4,z=(11±√47)/4(復号同順)…(4)
これから円Cの中心座標Cは
C(1,5/4,11/4)
Cの半径rは(4)と円の中心座標Cから
r=√(0^2+47/4^2+47/4^2)=(√94)/4

[ポイント]平面x=1の切断面で考えると分かりやすい。x=0での切断面（yz平面）での図を描いて考えるといいでしょう。

回答No.1

Quattro99

> 中心は球２の内部にあると考えました。
何の中心ですか？

> よりすべて左側にあると
左ってどういう意味ですか？

> Ｏ２とＰＣが垂直であると
O2って球2の中心のことではないのですか？
PCって何ですか？
点と線が垂直ってどういうことですか？

補足

球と球の交わりによってできる円の中心です。
正面からみて左ということです。（それ以外の表現がうまく思いつけません・・・）
Ｐは球と球の任意の交点で、Ｃは円の中心です。