二つの球面が交わってできる円の方程式

質問

XYZ座標において、二つの球面が交わって出来る交線の円の方程式の解き方を教えてください。
ただし半径は同じ長さRとします。
それぞれの二つの球の方程式を

(X-a)^2+(Y-b)^2+(Z-c)^2=R<2

(X-d)^2+(Y-e)^2+(Z-f)^2=R<2　とすると？

そこからどのようにして解いたら良いか分かりません。
代入するんでしたっけ、それともイコールでつなぐんでしたっけ？

高校数学を学んでから十数年経った今、数学が必要になり勉強し直しています。
どなたか、教えてください。

回答No.1

ryumu · ベストアンサー

かなり懐かしい問題ですね＾＾。
自信があるようなないような・・・・。
円の中心と、半径を求めるのは簡単ですが・・・＾＾
とりあえず参考までに・・・

空間における円の方程式は、球と平面の交線で表せますから、
二球の共通平面を求めることが必要ですね。

この場合、単純に二式を引くと、二次の項がすべて消えるので
二つの球の共通平面の式が得られます。
よって、求めたい二球の交線からなる円の式は、

・平面の式
・どちらか一方の球の式

の二式を同時に満たす関数ということになります。
空間上の円は一つの式で表せません。

一般に以下の式で表せる二つの図形、

ｆ（ｘ、ｙ、ｚ）＝０
ｇ（ｘ、ｙ、ｚ）＝０

の交点を通る図形は、ｍ、ｋを任意の定数として、

ｍｆ（ｘ、ｙ、ｚ）＋ｋｇ（ｘ、ｙ、ｚ）＝０

あるいは、（普通ｍもｋも、０でないのでｓ＝ｋ／ｍとして）

ｆ（ｘ、ｙ、ｚ）＋ｓｇ（ｘ、ｙ、ｚ）＝０

を満たします。このｌとｋの選び方で、どういう図形かがきまりますね。
この、ｆ（ｘ、ｙ、ｚ）とｇ（ｘ、ｙ、ｚ）にそれぞれ球の式を代入すると、
二球の交線を通る図形の一般式 が得られます。

お礼

空間上の円を一つの式で表そうとしてたところに
問題があったとは、解答ありがとうございました。

回答No.2

hideki-zu

高校生レベルの回答ですけどよろしいでしょうか？
先ずは円の中心座標ですがこれは二つの球体の中心座標の中点となります。
次に半径ですが、片側の球の中心座標と先に求めた円の中心座標との距離を求めます。距離Lは√(a1-a2)^2+(b1-b2)^2+(c1-c2)^2です。
これとその片側の円の半径が分かっていますから、これらは三平方の定理で解けます。これで、円の半径と中心座標は分かりました。
次に、この円の通る平面の方程式を解きます。
二つの球体の中心座標を通る直線は求める円を属する平面の法線の関係になっていますから、
(x-a)/b=(y-c)/d=(z-e)/f=Kとなります。
次にこの直線と平面の関係は、bx+dy+fz=mとなります。（ｋ、ｍは一定です。）
残された未知数はｍであり、先ほど求めた円の中心座標を代入すれば平面の方程式が求められます。これが、高校生レベルでの回答です。
それ以上の回答は答えれません。

お礼

ご解答ありがとうございました。
参考になりました