たけしのコマ大数学科の問題で質問です。

質問

たけしのコマ大数学科の問題で質問です。

http://ameblo.jp/chablis/entry-10616273103.html
で紹介されてるように、

鉛直な側面をもった水槽が水平な床の上に置かれており、
水平の高さは床から１ｍである。
今、側面に小さな穴をあけて水を水平方向に噴出させる。
噴流が穴の真下の床上の点から最も遠くに落ちるためには、
穴の位置を水面から何ｃｍにすればよいか。
また噴流が落ちる点までの距離も求めよ。

という問題なのですが、水槽の上からの高さをhとすると、エネルギー保存則から水槽の一番上にある水分子質量をmとすると、水槽から噴出する初速は、
v = √2gh
となっています。

しかし、これ、エネルギー保存則を考えるなら、水槽の一番上にある水分子に関しては言えると思いますが、最初に出てくるのは、明らかに水槽にあけた穴周辺の分子ですよね？
なのに、このようにエネルギー保存則を利用できるのは何故なのでしょうか？

また、普通に考えると、最初に出てくる水の勢いは強くて段々と水の勢いは減衰していくという感じになると思います。
これは、水槽にあけた穴の周囲にある水に対する水圧が水の嵩が減ることによって低下するため、噴出する力が弱っていくのだと思います。
そこで、この問題をエネルギー保存則を利用するのではなく、水槽に開けた穴に対する圧力を利用してといてみようと思ったので、dt秒間に出てくる水が押される力に対して、f=maの式を立てて解いてみようとしたり、最初質量0とすると運動量は0なので、dt秒後の運動量の増分fdtはvdmって感じになるのかな？とか色々やってみたのですが、うまくいきそうにありません。
何か良い方法は無いでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.3

noname#185706 · ベストアンサー

>このようにエネルギー保存則を利用できるのは何故なのでしょうか？

定常流を仮定しているからです。いまの場合、水槽内で音が穴から水面まで伝播するに要する時間はじゅうぶん短いので、その仮定は妥当でしょう。水は水面から穴まで流れる間に重力や圧力によって仕事をされますが、圧力は穴から出る過程で元の大気圧に戻るので、その正味の仕事は零になり、結局、重力による仕事だけが残ります。ちなみにこれはベルヌーイの定理↓の適用になっています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

>この問題をエネルギー保存則を利用するのではなく、・・・うまくいきそうにありません。何か良い方法は無いでしょうか？

穴を通過してゆく微小質量 m の流体素片の運動を考えます。運動方程式は
m dv/dt = f　　(1)
ここで v は速度、f は圧力 p の勾配による力で
f = {(- dp/dx) L} S　　(2)
L は流体素片の微小な「長さ」、S は穴の断面積で
m = ρ S L　　(3)
これらより
dv/dt = - (dp/dx) (L S / m)
　　　= - (dp/dx) / ρ　　(4)
ここで
dp/dx = (dp/dt) (dt/dx)
　　　= (dp/dt) / v
なので、(4)式は
v dv/dt = - (dp/dt) / ρ　　(5)
これを穴の内側から外側まで積分します。
v は穴の内側で 0、外側で V とすると
V^2 / 2 = Δp / ρ　　(6)
Δp は穴の内外の圧力差で
Δp = ρ g h　　(7)
(6),(7)式より
V^2 = 2 g h

先に圧力は正味の仕事をしないと書きながら、ここではその仕事を考えていることに疑念を抱かれるかもしれません。しかし、水槽内部での流れの速度を零とみなすということは、水が水面から穴まで流れる間に重力がする仕事を圧力がする仕事が完全に打ち消すと考えるということで、上の Δp のする仕事はその打ち消した重力による仕事を流体素片に「返している」ことに相当するのです。

お礼

なるほど、よく分かりました。
どうも有り難うございました。

回答No.10

sak_sak

No.1です。
水分子をパチンコ玉のようなもの、つまり質点ではなく剛体と
みなしており球の中心(重心)を基準にしています。

一番下の球の中心が水槽の底面を横切る瞬間の速さをvとしたのですが
よく考えてみたら他の球は直径Rぶん下がっているので
一番下の球とそのすぐ上の球が重なっていることになっちゃいますね。
最後の式が変な結果になっているのはそれが原因ですね。

お礼

なんか変だなと思ったのはそういうことだったんですね。

皆さん色々どうも有り難うございました。

回答No.9

sak_sak

No.1です。
mは水分子1つの質量です。
vは水槽の一番下にあった水分子が
飛び出した瞬間の速さです。

問題文中で表しているものと同じだと思ったので
説明は書かなかったのですが…。

No.2の方と意図は同じだと思います。
日本語で説明しているか数学で説明しているかの違い。

回答No.8

Ishiwara

だんだん水の勢いが弱くなることを考えるからいけないのです。これは、最初の一瞬の勝負を問うているのです。
最初の分子が１粒飛び出したところで、その先のことは考えず、その分子の行方を見守ることにしましょう。すると、飛び出した分子は穴のそばにあったものだ、という「捉われ」から解放されます。なぜなら、１粒飛び出したところで、最初とどこが違ったのかを観察すれば「一番上にあった分子がなくなった」にすぎないことが分かります。つまり１番手に飛び出した分子は「一番上にあったもの」だ、と考えるのがエネルギーで考える場合には合理的です。または、よしんばそれが穴のそばにあった分子だと考えても、みんなで力を合わせてヨイショっと押してあげたではありませんか。つまり穴のそばにあった分子は「自力で」飛び出したのではありません。一番上にあった粒のエネルギーをもらって飛び出したのです。
この分子がもらった水平初速v=root(2g(1-h))は、減少しません。一方垂直速度は直線的に増加し、root(2gh)で地上に落ちますから、これをgで割れば地上までの時間が分かります。あとは、これにvを掛けると水平飛行距離が出るはずです。その最大値は、h=1/2のとき得られることは、暗算でも出ます。

お礼

-okさんとalice_44さんが、流れが定常流でないとと仰しゃっているのですが、この問題は最初に飛び出した流体の初速だけが問題となるので、定常流である必要性は無いと思います。

でも、こう考えると、水槽の側面に瞬間的に綺麗な穴が開いて、液体も理想的なら、穴の大きさに寄らず穴の一番下にある水が最大の飛距離を示すことになるんでしょうか？

回答No.7

alice_44

なるほど。
これだから、物理は難しい。
近似に関する条件が、式の外部から出てくるから。

t1 ≪ t2 の ≪ が
時間積分に耐えるオーダーであることは、
どう評価したら検証できるのだろう？

回答No.6

noname#185706

＃３、４です。定常流の仮定について補足します。

時間尺度としては、情報が音波によって水槽内を伝達されるに要する時間（t1、定常流が成立する時間尺度）と、水面が有意に低下する時間尺度（t2）がありますが、　音速 >> 水槽内の流速　より　t1 << t2　なので、各瞬間瞬間にほぼ、＜その時の水面の高さに応じた定常流＞になっていると思います。問題文に「小さな穴」と書かれているのは、そのことを示唆するためではないでしょうか。

「非粘性非圧縮性」が仮定されているというのは、おっしゃるとおりです。

回答No.5

alice_44

定常流を仮定したら、水流が出て行っても
水面の高さが変化できません。
流速が変わってしまいますからね。
初等力学で考えるなら、仮定しているのは、
非粘性非圧縮性ではないですか？

回答No.4

noname#185706

＃３への補足です。

dv/dt や dp/dt はその流体素片から見た時間変化率という意味です。
定常流を考えていますから、ある固定された座標における時間変化率 ∂/∂t は 0 です。

回答No.2

alice_44

物理の質問ですねえ。
カテ違いかな。

エネルギー保存則で処理できるのは、
どの分子のエネルギーとかではなく、
水槽内の水分子のエネルギーの合計を考えている
からですよ。
そもそも、液体の分子は常に熱運動をしていて、
一番上の分子とか、一番下の分子とかいうように、
一ヶ所には留まりません。結晶じゃないんだから。

貴方が試みたように、運動方程式に基づいて
考えることも、不可能ではありません。
運動方程式と力学的エネルギー保存則は、
同じ関係式を、それぞれ微分形と積分形で
書き表したもので、表裏一体ですから。

ただ、この問題では、エネルギー保存則を使う
ほうが遥かに簡単だとは言っておきましょう。
式を微分するのと、積分するのでは、
積分のほうが数学的に難しいので、
既に積分してある法則を使うほうが、
計算が簡単で済むのです。

お礼

ああ、そうですね、物理の方で質問した方が良かったかも知れません＾＾；
ただ、出典がたけしのコマ大数学科だったので、こっちかな～と・・・

確かに、水槽全体の位置エネルギーと考えれば、上の方にあった水が無くなった分その部分の水の位置エネルギーが水槽全体から減ってるんだから、出てくる水の運動エネルギーと等価と見れますね。

回答No.1

sak_sak

位置エネルギーの基準を水槽の底面とする。
水分子の直径をRとし、直径R,高さhの円柱を考える。
この円柱に分子は縦並びになっているとすると、含まれる分子の数N=h/R

エネルギー保存則より
Σ(k=1～N){mg(kR-R/2)}=(1/2)mv^2+Σ(k=1～N-1){mg(kR-R/2)}
mg(NR-R/2)=(1/2)mv^2
∴2g(h-R/2)=v^2

お礼

すべての水分子の位置エネルギーの和をΣ(k=1～N){mg(kR-R/2)}と表しているようですが、k=1の一個目の水分子は水槽の底面上にいるのだから位置エネルギーは0ですよね？

それと、mは水分子全部の合計を意味しているのですか？
また、vは何処の速度を表しているのですか？