条件付分布の密度関数

質問

X,Yは共に平均がα^(-1)，（α＞0）の指数分布に従う独立な確率変数とする。これらの和S=X+Yに対して、S=sが与えられたときのXの条件付分布の密度関数f(x|s)を求めよ。
自分でやってみたのですが、答えと一致してくれません。度々ですが、よろしくお願いします。
答えは、1/s (0＜x＜s)，0（x≦0，x≧s)
だそうです。

回答No.3

keyguy · ベストアンサー

Ｎｏ．２の訂正

Ｚ→Ｓ
ｚ→ｓ

お礼

何度も丁寧に解答してくださりありがとうございます。

回答No.4

kony0

あえて解り易いように、
X,Yの確率密度関数をそれぞれg(x), h(y)と表記します。

求める条件付密度関数f(x|s)は、
f(x|s)=g(x)h(s-x)/∫g(x)h(s-x)dx
です。（これは定義のようなもの。積分範囲は全範囲。本問では実質的には0<x<sとなります。）

あとはここまでがあっていたかどうかを明記した上で、自分でやってみた内容を補足に書くべしです。計算するだけのはず。

お礼

ありがとうございました。
色々悩んでいましたが、うまくあいました。

回答No.2

keyguy

ｈ（ｘ）≡０（ｘ＜０）＆ｈ（ｘ）≡１（０＜ｘ）。
Ｚの分布関数をＧ（ｚ）とすると
Ｚの密度関数はｇ（ｚ）≡（ｄ／ｄｚ）・Ｇ（ｚ）。

Ｇ（ｚ）＝∫∫ｄｘｄｙ・ｈ（ｚ－ｘ－ｙ）・ｆ（ｘ）・ｆ（ｙ）
両辺をｚで微分して
ｇ（ｚ）＝∫∫ｄｘｄｙ・δ（ｚ－ｘ－ｙ）・ｆ（ｘ）・ｆ（ｙ）
＝∫ｄｘ・ｆ（ｘ）・ｆ（ｚ－ｘ）

注：範囲無記入の積分範囲は全範囲。
注：ｆ（ｘ）≡ｈ（ｘ）・α・ｅｘｐ（－α・ｘ）。

回答No.1

keyguy

Ｘの密度関数をｆ（ｘ）とし
Ｓ＝Ｘ＋Ｙの密度関数をｇ（ｓ）としたとき
ｆ（ｘ｜ｓ）＝ｆ（ｘ）・ｆ（ｓ－ｘ）／ｇ（ｓ）である。