数学の級数に関する質問です。

質問

数学の級数に関する質問です。
s=Σ[n=1～∞] (1/n^2)

という級数の和sの求め方がわかりません。
わかる方がいましたら参考にさせて頂きたいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

B-juggler · ベストアンサー

Ｎｏ．１です。補足感謝　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

式はあっていますね。

その式が、等差数列や等比数列になっていませんよね。

また、フィボナッチでもない。

kabaokaba　さんがおっしゃっているとおり、「ゼータ関数」で「因数２」の

形になりますね。　「バーゼル問題」で間違いないです。

数学的に本気で解くには、ちょっと覚悟がいります＞＜

　たぶん、代数学屋のσ(・・*)にはくるしいかな？

ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.3

Ae610

フーリエ級数を利用して
を使って解く方法があるみたい・・・！

---f(x)が2πを周期とする連続且つ区分的に滑らかな関数とするとき、f(x)のフーリエ係数an,bnに対し、Σ[n=1～∞](|an|+|bn|)が収束するならば、f(x)から作った形式的フーリエ級数は収束して、和が
f(x)に等しい---　　・・・と言う定理を使う。

f(x)=|x| (-π≦x≦π)という関数を考える。
この関数は区分的に滑らかな連続関数で、偶関数だから
bn=0
a0 = 2/π・∫[0,π]xdx =π
an = 2/π・∫[0,π]xcosnxdx = 2/π{xsin(nx)/n + cos(nx)/n^2}
= 0 (n=偶数)
= -4/(n^2π) (n=奇数)

Σ[n=1～∞]1/n^2 は収束するので上記定理が使える。
よって　-π≦x≦πで
|x| = π/2－4/πΣ[n=0～∞]{cos(2n+1)x/(2n+1)^2}

この関数は連続なのでx=0と置いても良い。
よって
Σ[n=0～∞]{1/(2n+1)^2} = π^2/8

また、Σ[n=1～∞]1/n^2 = SとすればSは絶対収束するから奇数番項と偶数番項とに分けられる。
S - S/4 = Σ[n=0～∞]{1/(2n+1)^2} = π^2/8
∴S = Σ[n=0～∞]{1/n^2} =π^2/6

この他にもz/(e^z-1)を利用して各項で現れるベルヌーイ数と比較することで求めるやり方があるみたいだが、ちと面倒くさい。
（こちらの方法ではΣ[n=1～∞]1/n^2k (k=1,2,・・・)の和が一遍に求められるようである！！）

回答No.2

kabaokaba

どうみたってリーマンのゼータ関数ζ(s)で
ζ(2)でしょう.
答えは π^2/6
ちなみに「パーゼル問題」なんていう別名もある．

求め方は，ググればすぐ見つかるけど
「数学的に正しく」求めるのは厄介で
たぶん一番簡単なのは，
オイラーによる「sin(z)の無限積展開による方法」だと思う

回答No.1

B-juggler

これは、ちょっとたいへんだよ。どこの問題かな？

ζ関数じゃないかな？

ｓ＝（１）＾２＋２＾（－２）＋３＾（－２）・・・・・・ｎ＾（－２）・・・・

これでいいのかな？

分母に自然数が並んで、全部に二乗がかかる形かな？

だとしたら、ちと厄介ですね。

レオンハルト・オイラー　か　ゼータ関数　で検索してみてください。

π＾２／６　じゃなかったかな？

補足

ありがとうございます。
そんなにややこしいのですか。
s=Σ[n=1～∞] (1/n^2)なんですが、私はS=1+1/4+1/9 となっていくと考えていました。

どうなのでしょうか？？