- ベストアンサー
無限級数の和について
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) Σ[n=0→∞] exp(-an) = 1/(1-exp(-a)) を見ると Σ[n=0→∞] exp(-anx) = 1/(1-exp(-ax)) も納得できるよね。 両辺をxで微分すると-1倍すると Σ[n=0→∞] an*exp(-anx) = a*exp(-ax)/(1-exp(-ax))^2 つまり Σ[n=0→∞] an*exp(-an) = a*exp(-a)/(1-exp(-a))^2 です。 (2) S=Σ[n=0→∞] an*exp(-an) とすると exp(-a)S=Σ[n=0→∞] an*exp(-a(n+1))=Σ[n=1→∞] a(n-1)*exp(-an)) 第1式から第2式を引けば (1-exp(-a))S=Σ[n=1→∞] a*exp(-an))=aΣ[n=0→∞] exp(-a(n+1)))=a*exp(-a)Σ[n=0→∞] exp(-an)) (1-exp(-a))S=a*exp(-a)/(1-exp(-a)) S=a*exp(-a)/(1-exp(-a))^2
その他の回答 (1)
- bran111
- ベストアンサー率49% (512/1037)
S=Σ[n=0→∞] an*exp(-an)=aΣ[n=0→∞] n*exp(-an)=aΣ[n=0→∞]{-d[exp(-an)]/da} =-ad{Σ[n=0→∞]exp(-an)}/da =-ad[ 1/(1-exp(-a))]/da (質問者の式使用) =-ad[(1-exp(-a))^(-1)]/da =-a(-1)(1-exp(-a))^(-2)exp(-a) =aexp(-a)/(1-exp(-a))^2
お礼
途中式の形も実践的で分かりやすかったです!ありがとうございました!
関連するQ&A
- 無限級数の和について(黄チャートIIIのEX92)
いつもお世話になっております。 黄チャートにある問題についてですが、初項と(第2項以降が収束条件を満たす無限等比級数)からなる無限級数の和を求める際に、第2項以降をかっこでくくって、その部分が収束するのでその和と初項の足し算の和を与えられた無限級数の和としております。 ここで、気になっているのが、収束する無限級数なのでかっこでくくってよいとのことなのでしょうが、残り(a1)が定数の場合にはこのようにして良いのでしょうか。 (教科書には、収束する無限級数同士であれば、分割可能としておりますが、定数も収束しているからということなのでしょうか)。 a1が定数、a2+a3+・・・+an+・・・が収束する無限等比級数で、 a1+a2+a3+・・・+an+・・・=a1+(a2+a3+・・・+an+・・・) 宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限級数の和
一度削除されてしまいましたが、修正したので、もう一度させていただきます。次の二つの無限級数の和を求めよ、という問題がわかりません。ご協力お願いし ます! (1)Σ[(n+k)!/{(n+k)-k}!・k!]・z^k (k=0~∞) (2)Σ[{(-1)^(k-1)}/k] (k=1~∞) (1)は第n項まで順に書き出して、何か掛けて元のと上手く引けばいいのかと思ったのですが、まず何を掛ければいいのかよくわかりません。第n項までの数列の和を求めて無限大まで飛ばすという考え自体が間違っているのかもしれませんが・・・ (2)これは発散するような気がするんですが、発散するという確証がつかめません・・・ 解法のヒントでもいいので教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限級数の和の説明をお願いします
無限級数の和で 1.Σ(n=1~∞)1/2^n=1 2.Σ(n=1~∞)1/3^(n-1)=3/2 となっているのですが、なぜそうなるのかの 説明をお願いできませんか。 宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限級数の和について(数研のやりかたで)
問 無限級数 1-1/3+1/2-1/3^2+1/2^2-1/3^3+・・・・の和を求めよ。という問題なのです。まず部分和S(n)を求めるのはわかるのですが、なぜS(2n)とS(2n-1)とに分けなければいけないのですか?また、S(2n)とS(2n-1)はそれぞれなにを示しているのでしょうか?見た感じS(2n)は二つの数列を表している、つまりS(2n)の極限が3/2になります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
2通りの解き方を丁寧に示していただけて助かりました!ありがとうございました! 一番解答が早かったのでBAに選ばせていただきました!