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φ(x+Δx,y+Δy,z+Δz)-φ(x,y,z)を一次の項まで展開
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こんばんわ。 先の質問は文字化けしてましたね。 可能なら削除しておいた方がよいと思います。 さて、本題ですが「微分の定義」に合うようにすれば導けると思います。 ごちゃごちゃするので、添付にしました。 (ちなみに、PowerPointで書いたものを JPEG化しただけですが ^^;) 同じ色のところは「足して引いて」いるところなので、値自体は変わっていません。 最後のところでは、φ(x, y, z)=φ(x+Δx, y+Δy, z+Δz)が成り立つということを暗黙に使っています。
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- hashioogi
- ベストアンサー率25% (102/404)
全微分、またはテーラー展開を勉強されたら如何かと存じます。
お礼
多変数関数のテイラー展開の公式を見て1次まで展開でいけました。 テイラー展開をもっと勉強します>< ありがとうございました。
- Anti-Giants
- ベストアンサー率44% (198/443)
f(t)=φ(x+tΔx,y+tΔz,z+tΔz)とおいて f(1)-f(0)=f'(s),0<s<1. φ(x+tΔx,y+tΔz,z+tΔz)-φ(x,y,z) =φx(x+sΔx,y+sΔz,z+sΔz)Δx +φy(x+sΔx,y+sΔz,z+sΔz)Δy +φz(x+sΔx,y+sΔz,z+sΔz)Δz φx,φy,φz、は偏微分。 一次の項までって、こういうことかな?
お礼
中間値の定理~平均値の定理~テイラー展開のつながりを理解していませんでした>< 勉強になりました。 ありがとうございました。
補足
素早い回答ありがとうございます。 すみません数学のレベルが高卒+α程度なんで、なぜそうなるのかがわかりません。 参考書にあったものをより詳しく書くと φ(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1/2} φ(x,y,z)=φ(x+Δx,y+Δy,z+Δz)が成立するとする。 この時、Δx,Δy,Δzを十分小さくしても成り立つ。 そこで右辺をそれらについて一次の項に展開する事により φ(x+Δx,y+Δy,z+Δz)-φ(x,y,z)≒δφ/δx Δx+δφ/δy Δy+δφ/δz Δz とあるのですが、 最後の左辺から右辺になぜそうなるのかがわからなくて・・・
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なるほど!これは分かりやすいですね! ご丁寧に画像までありがとうございました><