Σが二重になっている式の偏微分について

質問

Σが二重になっている式の偏微分について

ある工学書中に、添付の画像の様な数式がありました。
私は数学があまり得意な方ではなく、
なぜ（１）式をajについて偏微分すると
（２）式ようになるのか、いま一つ理解できません。
特に、Σの前に出ている２がどこからきたのかが
気になります。

導出過程や参考になりそうな情報などありましたら、
御教授お願い致します。

回答No.7

alice_44

あ、かぶった。失礼。
しかし、変更するなら総和変数のほうが…

回答No.6

alice_44

式(1)の j と式(2)の j は、同じ文字を使ってしまっているけれども、全く別のものです。
式(1)の j は、Σに閉じ込められていて、他の文字に置き換えが可能だけれども、
式(2)の j は、左辺で意味を持ちますからね。

違うものを同じ文字で書いていると混乱するので、
式(1)の方の j を、Σの性質を利用して、他の文字に置き換えてしまいましょう。
β = Σ[i=0…p] Σ[k=0…p] a(i)c(i,k)a(k)　　…(1') とか。

式(1')を a(j) で偏微分すると、
∂β/∂a(j) = Σ[i=0…p] Σ[k=0…p] ∂{ a(i)c(i,k)a(k) }/∂a(j) ですが、
ΣΣ内の ∂{ a(i)c(i,k)a(k) }/∂a(j) を、積の微分公式をつかって微分すると、
∂{ a(i)c(i,k)a(k) }/∂a(j)
= { ∂a(i)/∂a(j) }c(i,k)a(k) + a(i){ ∂c(i,k)/∂a(j) }a(k) + a(i)c(i,k){ ∂a(k)/∂a(j) }
となります。

c(i,k) は定数だから ∂c(i,k)/∂a(j) = 0。
∂a(i)/∂a(j) は i=j のとき 1、i≠j のとき 0 ですね。
よって、
∂β/∂a(j) = Σ[k=0…p] c(j,k)a(k) + 0 + Σ[i=0…p] a(i)c(i,j)。

回答No.5

2ac0uO

これはいささか表記に問題がある問題です。
ａj では無く、ａk(0≦k≦p)　での偏微分と考えると良いのではないかと思います。
ｃij は演算子では無く、ａi(i=0→p)と独立な値と仮定します。
又、以下の関係が成り立つとします。
　ｃij ＝ ｃji

与式を変形すると、
β = Σ[i＝0→p]Σ[j＝0→p]ａi・ｃij・ａj
　 = Σ[i＝0→p, j＝0→p]ａi・ｃij・ａj
　 = Σ[i＝0→p, (j＝0→p & j≠k)]ａi・ｃij・ａj
　 ＋Σ[i＝0→p, j＝k]ａi・ｃij・ａj
　 = Σ[(i＝0→p & i≠k), (j＝0→p & j≠k)]ａi・ｃij・ａj
　 ＋Σ[i＝k, (j＝0→p & j≠k)]ａi・ｃij・ａj
　 ＋Σ[(i＝0→p & i≠k), j＝k]ａi・ｃij・ａj
　 ＋Σ[i＝k, j＝k]ａi・ｃij・ａj
　 = Σ[(i＝0→p & i≠k), (j＝0→p & j≠k)]ａi・ｃij・ａj
　 ＋Σ[j＝0→p & j≠k]ａk・ｃkj・ａj
　 ＋Σ[i＝0→p & i≠k]ａi・ｃik・ａk
　 ＋ａk・ｃkk・ａk
　 = Σ[(i＝0→p & i≠k), (j＝0→p & j≠k)]ａi・ｃij・ａj
　 ＋2Σ[i＝0→p & i≠k]ａi・ｃik・ａk
　 ＋ａk・ｃkk・ａk

最後の式を ａk で偏微分すると、
一行目のΣは ａk を含みませんので、ゼロになります。
その結果、
∂β／∂ａk
　 =　2Σ[i＝0→p & i≠k]ａi・ｃik
　 ＋2ａk・ｃkk
　 =　2Σ[i＝0→p]ａi・ｃik

回答No.4

Chitano

まず、（1）式からαkに関する項だけを取り出しましょう。添付の画像の（4）式になるはずです。それからαkについて偏微分すると、添付の画像の（5）式になるはず。そこで、cij=cjiが成り立てば、kをjに置き換えると（2）式のようになりますけど、条件にはcij=cjiかどうか書いてないようです。それについては補足説明をいただきたいですが。

回答No.3

naniwacchi

#2です。

添付がうまくいかなかったので、再度添付します。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

一見、a(ｊ)をはずすだけやん！みたいに見えるのですが、
具体例を考えたりするとそうでないことが見えてきます。

なぜ、そのようなことになるかというと、a(ｉ)と a(ｊ)は同じ変数（数列）であって「入れ替えた」場合も考えないといけないからです。

具体的に p＝ 2としてみたとき、ｉと ｊの組合せを見てみると以下の 9とおりが出てきます。
(ｉ, ｊ)＝ (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)

(0, 0)となる項は、実際には a(0)* c(0,0)* a(0)となって、a(0)が 2つ含まれています。
a(0)で偏微分することを考えると、偏微分される項は
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 0)

であり、先の (0, 0)のことを考えると、2a(0)* c(0,0)+ 2a(1)* c(1,0)+ 2a(2)* c(2,0)
となります。

ｉとか ｊというのは単に和をとる変数を表しているだけで、
実際には値が変化しているのだというのがポイントですね。

ちなみに、元のΣΣは添付のように書き下すこともできます。
後半のΣで、ｉ＜ ｊとなる値についてのみ和をとるとしているのがポイントです。
このように書き下すと、偏微分が答えのようになるのも少しはわかるかと思います。

回答No.1

Tacosan

Σ を使わずにわらわらと展開してみればわかると思う.