数理統計の確率の問題で解けなくてあせってます！；；

質問

数理統計の確率の問題で解けなくてあせってます！；；

証明問題なんですが証明はすごく苦手で困ってます・・・。誰かお助けください。
４個の根元事象からなる確率空間Ω＝｛ω1,ω2,ω3,ω4｝を考える。確率はP(｛ωi｝)=1/4(1≦i≦4)のように等確率で与えられているとする。
３つの確率変数X,Y,Zを
X(ω1)＝X(ω2)＝1、X(ω3)＝X(ω4)＝0
Y(ω2)＝Y(ω3)＝1、Y(ω4)＝X(ω1)＝0
Z(ω3)＝Z(ω1)＝1、Z(ω2)＝Z(ω4)＝0 と定める。

XとYは独立、YとZは独立、XとZは独立であることを示せ。
またX,Y,Zは独立でないこと、X+YとZは独立でないことを示せ。

という問題です。ご助力お願いします！！

回答No.1

Anti-Giants

どの程度の理解があるのか不明なので、とりあえず、基本から説明。
ただし、問題を解くための説明であって、理解のための説明ではない。

この問題においては
X,Yが独立⇔∀i,∀jについてP[X=i,Y=j]=P[X=i]P[Y=j].
つまり,XとYが独立かどうかを判定するには
(i,j)=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0).
の4つの場合に、上記の等号が成り立つかどうか調べればよい。

X,Y,Zが独立⇔∀i,∀j,∀kについてP[X=i,Y=j,Z=k]=P[X=i]P[Y=j]P[Z=k].
この場合は、8つの等号を調べる。
ただ、一つでも等号が成り立たなかったら、独立ではないので、それ以降は計算する必要なし。

X+Y,Zが独立⇔∀i,∀jについてP[X+Y=i,Z=j]=P[X+Y=i]P[Z=i].
この場合はiは3通り、jは2通り、全部で6通り調べる。
上記と同様、等号が成り立たなかった場合、そこで終了。

X,Yについてのみ例解を示す。

P[X=1,Y=1]=P[{ω2}]=1/4.
P[X=1,Y=0]=P[{ω1}]=1/4.
P[X=0,Y=1]=P[{ω3}]=1/4.
P[X=0,Y=0]=P[{ω4}]=1/4.

P[X=1]P[Y=1]=1/2×1/2=1/4.
P[X=1]P[Y=0]=1/2×1/2=1/4.
P[X=0]P[Y=1]=1/2×1/2=1/4.
P[X=0]P[Y=0]=1/2×1/2=1/4.

よってX,Yは独立。