nは自然数のときlim(x→0) x(log｜x｜)^n

質問

nは自然数のときlim(x→0) x(log｜x｜)^n

の値はどうやって求めればいいんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

ロピタルの定理を適用
与式=f(n)とおくと、

f(n)
=lim(x→0)(log|x|)^n/(1/x)　
=lim(x→0){n(log|x|)^(n-1)・1/x}／{-1/x^2}
=-nlim(x→0){x(log|x|)^(n-1)}
=-nf(n-1)

f(1)=-lim(x→0){x}=0

∴f(n)=0

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。おかげさまで理解できました。

回答No.2

alice_44

ロピタルが(∞/∞型は特に)好きでない人向け :

y = -log｜x｜ と置くと、
｜ lim[x→0] x・(log｜x｜)↑n) ｜
= lim[y→+∞] ｜x｜・｜-y｜↑n
= lim[y→+∞] (y↑n)/(e↑y).

y＞0 のとき、任意の自然数 m に対して、
e↑y = Σ[k=0→∞] (y↑k)/(k !) ＞ (y↑m)/(m !)
だから、m ＞ n であるように m をとれば、

｜与式｜ ＜ lim[y→+∞] (m !)/(y↑(m-n))
= 0.

お礼

そのような置き換えもあったんですね。とても参考になりました。ありがとうございます。