次の問題がどうしても解けません(＞＜)どなたかわかる方いらっしゃいます

質問

次の問題がどうしても解けません(＞＜)どなたかわかる方いらっしゃいますか？

線形等長変換は直交変換であることを示すために以下を示せ。

(1)線形等長変換はノルムを保つ線形変換である

(2)ノルムを保つ線形変換は直交変換である

数学が苦手なので、いまいち問題の意味がわかりません。なので、できれば分かりやすく解答して欲しいです(´;ω;｀)
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

OKXavier · ベストアンサー

略解です。自分で丁寧に書き直すようにすること。
(1)
x=t(x1,y1)
y=Ax=t(x2,y2)
とおくと、

等長変換では、
√(x1^2+y1^2)=√(x2^2+y2^2)

表現を変えれば、
|x|=|Ax|
よって、ノルムを保つ変換である。
（このあたりは、定義に忠実にしたがえばいい）

(2)
任意の実ベクトルxにたいし、
|x|=|Ax|が成り立つとする。‥‥(1)

任意の実ベクトルx,yに対して
|x+y|^2=|x|^2+2(x,y)+|y|^2
|A(x+y)|^2=|Ax|^2+2(Ax,Ay)+|Ay|^2
(1)から、
(x、y)=(Ax,Ay)‥‥(2)

ここで、
(x,(tAA-E)y)=(x,tAAy)-(x,Ey)
=(Ax,Ay)-(x,y)
=O
したがって、tAA-E=O　∴tAA=E
ゆえに、Aは直交変換

（ノルムの記号は、縦二本線ですが、ここでは、見やすくするため
一本線で書いています。）

※演習を十分こなし、証明の記述の仕方に慣れていきましょう

お礼

ありがとうございます。 本当にありがとうございます（（泣））
ここまで教えていただいて本当に嬉しいです！

はい、証明がんばります！
．．．．というか 一体どうやったらそんなに数学が上手くなるのかお聞きしたいです゜+。(*′∇｀)。+゜
何なさってる方なのかな(;^_^A

ありがとう(^_-)
理解もばっちりです！

回答No.1

alice_44

問題の意味が解らないのでは、解答を聞いても何の意味もありません。
問題文中の各用語を、教科書か辞書で調べて、
問題の意味を把握してから、再度、質問するとよいでしょう。

お礼

alice_44さん
丁寧な指摘ありがとうございます。m(__)
malice_44さんの言うとおり、辞書や参考書、そしてネットで調べてみました。
それでも不明な点がいくつかあるのでお聞きしたいですm(__)m

まず(1)に出てくる「線形等長変換はノルムを保つ線形変換である」の証明です。（初っぱなからごめんなさい）{線形等長変換}とは長さを変えない変換のことですよね？一方、{ノルムを保つ}ってのも変換する際に長さを変えないっていうことだととらえています。ノルム（長さ）を保つ線形変換は線形等長変換・・・そのまんまじゃん(´Д｀)って感じです。
なので(1)をどう証明すればよいのかわかりません。ベクトルを使えばよいのか、文字式を使えばよいのか、行列式を使えばよいのか．．．．．．。

次に(2)についてですが、直交変換のもつ性質は教科書等で理解できました。しかし、これも解き方がいまいちピンと来ません。

本当に困ってます。解答よろしくお願いしますm(__)m

補足

丁寧なご指摘ありがとうございます。

辞書、教科書、ネットで調べましたが、解き方が検討つきません。どなたかわかる方いらっしゃいますか？(・ω・｀)