σ-加法族における関数の像について質問です。

質問

σ-加法族における関数の像について質問です。
ルベーグ積分の教科書において

S,Tを集合、f:S→Tを関数、
P⊂2^S,Q⊂2^Tはともにσ-加法族
とするとき

f^(-1)(Q)={f^(-1)(B)|B∈Q}
f(P) ={B⊂T|f^(-1)(B)∈P}

として左辺が定義されていました。
第1式の定義は形が自然ですが第2式はなぜこのような定義の形になるのでしょうか。

f(P)={f(A)|A∈P}

では何か不都合が生まれるのでしょうか。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

S=T={0,1}
f:S→T,f(0)=f(1)=0
P={φ,{0,1}}
とすると
f(φ)=φ,f({0,1})={0}だから
{f(A)|A∈P}={φ,{0}}
は　T-φ={0,1},T-{0}={1} を元として含まないから
σ加法族ではない。

Pがσ加法族でf(P)={B⊂T|f^{-1}(B)∈P}ならば
・f^{-1}(φ)=φ∈P　→　φ∈f(P)
・B ∈ f(P) → f^{-1}(B)∈P → f^{-1}(T-B)=S-f^{-1}(B)∈P → T-B ∈ f(P)
・{B_n}_{n∈N(自然数)}⊂f(P)　→　{f^{-1}(B_n)}_{n∈N}⊂P
→　f^{-1}(∪_{n∈N}B_n)=∪_{n∈N}f^{-1}(B_n)∈P　→　∪_{n∈N}B_n∈ f(P)
→　f(P)={B⊂T|f^{-1}(B)∈P}もσ加法族

お礼

なるほど
{f(A)|A∈P}={φ,{0}}
の定義では、像が必ずしもσ加法族になってくれないのですね。
具体例、ありがとうございました。