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テイラー展開がよく分かりません。
hitokotonusiの回答
- hitokotonusi
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＞(1)“ａ”がどこから出てきたのか 分かりませんし、 テーラー展開する目的はある曲線を多項式で近似することにあります。 展開して無限項まで求めることができれば、すべてのxで元の関数と展開式は一致しますが、 現実にテーラー展開を使う場面では有限項で打ち切ります。 １次まで、とか２次まで、３次までという具合に。 そうすると、打ち切った展開式はある狭い範囲でしか元の関数の 近似式として使えません。なので、近似式として扱える狭い範囲の中心を どこにするかということが問題として浮上してきます。 この狭い範囲の中心がaで、aのまわりでテーラー展開しておけば、 少ない次数までの多項式で元の関数をaを中心とするこの範囲で近似できます。 ＞(2)“まわりで”という言葉 の使われ方のニュアンスも分かりません。 ある関数f(x)を直線で近似することを考えます。 このとき、x=aのまわりの近似式がほしければ、 x=aで接線の方程式を求めればこれが近似直線になります。 もちろん、直線で近時できる範囲はx=aにごく近くに限られます。 この接線の方程式はどういうものになるかというと、 x=aでの曲線の傾きがf'(a)ですから、 接線(x)＝f(a) + f'(a) (x-a) だというのはすぐに分かるでしょう。 で、この式、よく見ると、質問文にあるテーラー展開の式の １次までで打ち切ったものに等しいことが分かります。 つまり、x=aで接線の式を求めるということは、 「x=aのまわりでテーラー展開」して１次の項までを取る ことと同じです。さらに近似の精度を上げると、２次、３次と 次数が増えていきますが、同じように考えていけばいいです。 ＞(3)“(x-a)”？一体これは何の量でしょうか。 元のテーラー展開の式 ＞f(x)=f(a)+f'(a)・(x-a)+f''(a)/2!・(x-a)^2+f'''(a)/3!・(x-a)^3+f''''(a) /4!・(x-a)^4+… で、x＝a+dxと置き換えてみると f(x)=f(a+dx)=f(a)+f'(a)・dx+f''(a)/2!・(dx)^2+f'''(a)/3!・(dx)^3+f''''(a) /4!・(dx)^4+… で、x-aはx=aからの外れを表しています。テーラー展開ではx=aでは必ず 元の関数の値f(a)に展開式の値は等しくなりますので、 x=aからどれだけ離れているかが問題になります。
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