x+1/x=3のとき、x^2+1/x^2の値を求める問題について

質問

x+1/x=3のとき、x^2+1/x^2の値を求めなさい。という問題があるのですが解き方と問題の意味がよくわかりません。
問題の意味と詳しい解き方を教えていただけませんか？
問題集には下のようにかいてあります。
x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2
=3^2-2
=7
この解き方の流れを見ても理解できません。
宜しくお願いします。

回答No.6

htms42 · ベストアンサー

＞この解き方の流れを見ても理解できません。

どの部分がわからなかったのでしょうか。
解答にある方法は「ｔ＝ｘ＋１／ｘと置く」というものです。よくつかわれているものです。ｔ＝３ですがあとで使います。

ｔ^2＝ｘ^2＋２＋１／ｘ^2＝（ｘ^2＋１／ｘ^2）＋２
ｔ^3＝ｘ^3＋３ｘ＋３／ｘ＋１／ｘ^3＝（ｘ^3＋１／ｘ^3）＋３（ｘ＋１／ｘ）
ｔ^4＝（(ｘ^2＋１／ｘ^2）＋２)^2＝（(ｘ^4＋１／ｘ^4）＋２）＋４（ｘ^2＋１／ｘ^2）＋４
　　＝（ｘ^4＋１／ｘ^4）＋４（ｘ^2＋１／ｘ^2）＋６

次数がどんどん大きくなりますがどの次数でも（ｘ^n＋１／ｘ^n）の形の式の組み合わせしか出てきません。
逆にこれを解くと
ｆ１＝ｘ＋１／ｘ＝ｔ
ｆ２＝ｘ^2＋１／ｘ^2＝ｔ^2－２
ｆ３＝ｘ^3＋１／ｘ^3＝ｔ^3－３ｔ
ｆ４＝ｘ^4＋１／ｘ^4＝ｔ^4－４ｔ^2＋２

になりますからｔの値が分かっているとｆ１、ｆ２、ｆ３、ｆ４、の組み合わせになっている式の値が求められるということが分かります。

ｆ＝ａ＋ｂｆ１＋ｃｆ２＋ｄｆ３＋ｇｆ４
に対して教科書では「対称式」という言葉が使われています。
ｘ^n　の前の係数と１／ｘ^n　の前の係数が同じになっている式です。

問題ではｔ＝ｘ＋１／ｘ＝３となっています。
ｔ＝３を代入して計算するのはｘ＝（３±√５）／２　を代入して計算するのに比べると格段に楽です。

こういう流れの中で出てきた問題です。
ｘ^2＋１／ｘ^2　だけを見て変形を思いついたというのであれば「どうしてそういう変形を考えるのか？」と不思議に思うかもしれません。
３次の対称式が出てきた場合であればお手上げになる可能性があります。

「対称式ではｔ＝ｘ＋１／ｘと置いて変形する」という公式があると思っておいた方がいいようです。

お礼

丁寧なご説明ありがとうございました。凄く良くわかりました。

回答No.5

lindberg19

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
なので
　x^2+y^2
= (x+y)^2 - 2xy
この式を使います。

y=1/xとおくと

　x^2+1/x^2
= x^2+y^2
= (x+y)^2 - 2xy
yを1/xに戻します。
= (x+1/x)^2 - 2x(1/x)
= (x+1/x)^2 - 2
x+1/x=3なので
= 3^2 - 2
= 7

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございました。やっと理解できました。

回答No.4

Tacosan

え? 「問題の意味がよくわからない」ですか?
もうちょっとかみくだいていうと「x+1/x = 3 を満たす x の値に対して x^2+1/x^2 の値を求めろ」ってこと.
だから, その解答がスマートだけどもちろん地道に「x+1/x = 3 を解いて得られる x の値を x^2+1/x^2 に代入する」という手法でもいい.

お礼

問題の意味についてのご説明ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

回答No.3

NNNN3

すいません誤記がありました。再度書きます。

(x+1/x)^2は
x^2 + 2*x*(1/x) + 1/(x^2)
=x^2 + 2 + 1/x^2
なので、
x^2 + 1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2
ここで問題文より
x+1/x = 3なので
x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2
= 3^2 - 2
= 9 - 2
= 7
ということです。

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございました。納得できました。

回答No.2

NNNN3

(x+1/x)^2は
x^2 + 2*x*(1/x) + 1/(x^2)
=x^2 + 2 + 1/x^2
なので、
x^2 + 1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2
ここで問題文より
(x+1/x)^2 = 3なので
x^2+1/x^2 = ((x+1/x)^2)^2 - 2
= 3^2 - 2
= 9 - 2
= 7
ということです。

回答No.1

ItachiMasamune

情報公式の(a+b)^2=a^2+b^2+2abにa=x,b=1/xを入れれば
(x+1/x)^2=x^2+1/x^2 +2x(1/x)
9=x^2+1/x^2 +2

というか(a+b)^2=a^2+b^2+2abを変形したa^2+b^2=(a+b)^2-2abもよく使う。
問題集はこれを使ってるだけ。

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございました。変形したa^2+b^2=(a+b)^2-2abという公式も教えていただいて大変助かりました。