- ベストアンサー
∫1/{ 2+cos(x) }dxについて
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
三角関数の積分はt＝tan(x/2)と置換するとうまくいくことが多いです． t＝tan(x/2)と置換すると， dx＝2cos^2(x/2)＝2/(1+t^2) cos(x)＝(1-t^2)/(1+t^2) ∫1/(2+cos(x))dx＝∫2/(3+t^2)dt 次に，t＝(√3)tan(u)と置換すると， dt＝((√3)du/cos^2(u) ∫2/(3+t^2)dt＝∫(2/√3)du＝(2/√3)u＋C 以上より ∫1/(2+cos(x))dx＝(2/√3)arctan(tan(x/2)/√3)＋C
関連するQ&A
- ∫cos(x)sin(x)dx を置換積分したいんですが
∫cos(x)sin(x)dx を置換積分したいんですが どうも答えが一致しません。 t=sin(x) dt/dx = cos(x) ∴dt=cos(x)dx ∫cos(x)sin(x)dx =∫t dt =(1/2)t^2 =(1/2)sin(x)^2 + C 答えは -(1/2) cos(x)^2 + C となるはずなんです。 どこで間違ったのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫1/√(x^2+a)dxの求め方
∫1/√(x^2+a)dxの求め方 積分公式の一つに ∫1/√(x^2+a)dx=log{x+√(x^2+a)}+C(Cは積分定数) がありますよね。 これってどのように証明すればよいのですか？ x=asinθで置換積分してもうまく解けないのですが…。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+Cの証明で
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C を証明ですが、 x=sin(θ)と置換すると、 dx=cos(θ)dθより、 ∫dx/√(1-x^2) =∫cos(θ)dθ/√(cos^2(θ)) =∫cos(θ)dθ/|cos(θ)| ここでこの絶対値をどのように処理すればよいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫ 5 cos (3x/2) ～
問題) ∫ 5 cos (3x/2) sin (3x/2) dx 答え） －5/6 cos 3x + c お聞きしたいのは途中式で ∫ 5 cos (3x/2) sin (3x/2) dx が 5/2 ∫ sin 3 x dx になるのが理解出来ないのです。 sin 2A = 2sinAcosA が sinAcosA = ½ sin2A になるのはわかります。 cos (3x/2) sin (3x/2) が 1/2 sin 3 x に変わる途中式を見せて頂けますか？ 宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
定積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4 この計算の仕方が分かりません。 x=sinθとおく。dx=cosθdθ。x[0→1]がθ[0→2/π]になる。 ∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ ここまでは合ってますか？ 次に半角の公式を使って（この半角の公式とやらがよく分からないのですが）1/2∫[0→2/π]1+cos2θdθとなり =π/4となる様です。計算の説明を分かりやすくお願い致します。 また、π/4 は 45°で、cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、それとの関係はどうなるのでしょう？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫(2x^2+x+1)/((x-1)(x+1)^2)dx
∫(2x^2+x+1)/((x-1)(x+1)^2)dx この問題の解き方が分かりません。 置換積分で解いてもうまくいきませんでした。 どのように解けばよいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫１/cos^3 dxの積分に付いて
問題を解いている最中に、∫１/cos^3 dxと云う積分の式が出て来ましたが、解き方が判りません。どなたか、お判りの方、ご教示、宜しくお願い申し上げます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Arcsin(x) = -Arccos(x)??
sqrtはルートです。 積分で ∫1 / sqrt(a^2 - x^2) dx (a>0) の原始関数を求める。 このとき i） x = a * sin(t)と置いて置換積分 dx/dt = a * cos(t) dx = a * cos(t) dt 与式＝∫1 / sqrt(a^2 - a^2 * sin^2(t)) * a * cos(t) dt = ∫1 / sqrt( a^2( 1 - sin^2(t) ) ) * a * cos(t) dt = ∫1 / sqrt( a^2 * cos^2(t) ) * a * cos(t) dt = ∫1 / ( a * cos(t) ) * a * cos(t) dt = ∫1 dt = t x = a * sin(t)より x / a = sin(t) t = arcsin(x/a)となる 与式＝ arcsin(x/a) ii） x = a * cos(t)と置いてi）と同様に置換積分すると 与式＝ -arccos(x/a)となりました。 i）ii）どちらも正解なのでしょうか？ また、arcsin(x/a) = -arccos(x/a)と考えてもいいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∮[-1→1]√(4-x^2)dxでx=2sin(
∮[-1→1]√(4-x^2)dxでx=2sin(t)に置換した後のtの積分区間が分からないので教えて下さい。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
何とか理解することができました。ありがとうございました。