- ベストアンサー
フーリエ変換・フーリエ級数について
理系の専門知知識を持つ方のみ御回答下さい。フーリエが「総ての関数は三角関数の和として表記出来る」とした事は、フーリエ級数の研究を引き継いだディレクリ(記憶がうろ覚えで定かではない)が「特定の条件下である場合に限って」の話である事を発見し「その特定の条件以外では三角関数の和として表記出来ない」事を発見したと聞いています。では「その(フーリエ級数化出来ない)特定の条件」とは具体的にどういう場合の事を意味するのですか。
- Kouanjiken
- お礼率20% (11/55)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数3
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
工科系のフーリエ解析関係の本によく書いてあるフーリエ級数展開が可能な条件は、 区分的になめらか、かつ、1周期で絶対可積分 ですね。これのことでしょう。本職の数学ではないので、数学的に正確な表現というのは知りません。 http://www.geocities.jp/the_cloudy_heaven/laboratory/fourierexpand/fourierexpand.html
その他の回答 (1)
- rinkun
- ベストアンサー率44% (706/1571)
数学史の知識はないので誰が何を発見したかは知りませんが、問題となるのは変換あるいは級数を定義する式における積分の収束性でしょう。 関数の二乗可積分を仮定すれば良かったと思うけど、詳しくは覚えていないので数学の教科書でも当ってください。 # http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E7%B4%9A%E6%95%B0
関連するQ&A
- フーリエ級数とフーリエ変換
大学の試験で問題が発表されて、そのうちの一つに 「フーリエ変換とはどういうものか述べよ」というのがありました。 そこで疑問に思ったのですが、フーリエ級数とフーリエ変換の違いって何ですか？ 自分なりに調べてみて、 ・フーリエ級数は、任意の関数がある区間で、三角関数の足し合わせで表現したもの。 ・フーリエ変換は、フーリエ級数展開の周期を無限大まで飛ばしたもの。こうすることで、元の関数との誤差が０になる。 これって正しいですか？（数学の試験ではないので、難しい数式とかで証明する必要はありません）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数についてお尋ねします。
フーリエ級数を学ぶとき、最初に周期関数に対するフーリエ級数を考えます。例えば[-π, π]というような区間の関数が[π, 2π], [2π,3π],,,というように繰り返すようなものですね。 そこで、級数の係数an, bnを積分( 区間[-π,π]) によって表示したりします。その後、フーリエ変換になってくると”周期関数を仮定する”などのような変換される関数に対する要請が無くなるようです。 質問ですが、どうしてフーリエ級数では周期関数という要請が必要なのでしょうか。フーリエ級数の積分区間は[-π, π]に限定なのだから、その区間だけ定義されていればいいはずで、その関数系が左右に繰り返される場合を考えるというのはなぜでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ級数の求め方。
フーリエ級数展開の問題で [-π,π]の区間で|sin(t)|をフーリエ級数展開せよ。という問題です。 公式に当てはめて a_0 = (1/π)*∫[-π,π] |sin(t)| dtとなって、まずこれを =(2/π)*∫[0,π] sin(t) dtと直せますか？ 絶対値がついているのでsin(t)は、π周期になってるのでこう直せると思ったんですが。 次にa_nを求めるのに a_n=(1/π) * ∫[-π,π] (|sin(t)| * cos(nt)) dt これも =(2/π)*∫[0,π] sin(t) * cos(nt) dtとしてしまって問題ないですか？ あとこの積分は 部分積分や三角関数の積和の公式を使って解けばいいのでしょうか？ フーリエ級数について勉強を始めたばかりで自信がなくて細かいことを聞いてしまって 申し訳ありませんがよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数の証明を教えてください。
フーリエ級数(全ての関数は三角級数で表せる)の証明を教えてください。 証明の載っているサイトの紹介でも結構です。 自前の微積分の教科書にも載ってなくて困ってます。 できるだけ厳密なのが希望です。 よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ級数の収束性
こんにちは。 フーリエ級数を眺めていてふと思ったのですが、基本周波数の自然数倍の周波数をもつ三角関数のみで全ての周期関数に収束するのはなぜですか。自然数倍でないもの、例えば1.5倍などの周波数はなぜ使う必要がないのでしょうか。 フーリエ級数展開は、直交関数列の各関数に対応する係数を取り出しているだけですよね？関数列に取りこぼしがあれば収束できないものも出てくるのではないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数についてです。
フーリエ級数についてです。 区間［－π，π］で定義された関数f(x)＝xで定義された周期2πの関数についてフーリエ級数の問題を解けという問題があるんですけど、この場合f(x)＝xは周期2πなんでしょうか？ 周期関数2πの定義は関数f(x)がf(x＋2π)＝f(x)を満たすときですよね？ この定義にf(x)＝xが当てはまるとは思えないのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数
こんにちは。つぎの問題がわからず困っています。 周期2πの奇関数f(x)がある。この関数はf(x)=Σbn・sin(nx) (nは1から∞まで） とフーリエ級数展開されるものとする。 (1)関数f(x)がf(x+π)=-f(x)の関係を満たすためのbnの条件を導け。 (2)(1)のとき、関数g(x)=f(x+4π/3)-f(x-4π/3)を、bnを用いてフーリエ級数展開せよ。というもんだいで (1)は与式のxにx+πを入れるとsinがnx+nπとなり、nが奇数のとき この値は-sinnxとなり偶数のときsinnxとなることから、bnの条件はnが奇数のとき、bnは正、偶数のときbnは負という条件にしました。 (2)は変形して(1)の条件を使いいろいろ変形してみましたが、どのようにしてもうまくいきません。 どなたかおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ級数展開は三角関数ですがほかの関数は可能？
フーリエ級数展開は三角関数で展開する方法ですが、 矩形波や三角波などを基底関数にして展開できますか？ たぶん発散しそうな気がしますが。 周期関数を三角関数以外の関数で展開する方法があったら紹介してください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数に関して
フーリエ級数に関しての質問です。 f(x)= 0 (π/2≦x＜π) = cosx (-π/2≦x＜π/2) = 0 (-π≦x＜-π/2) についてフーリエ級数を求めました。 正しい答えは (1/π)+(cosx/2)-(2/π)Σ[n=1→∞]{(-1)^(n+1)/(2n-1)(2n+1)}cos2nx なんですが、2つ目のこの(cosx/2)について疑問が生じています。 最初に自分は、f(x)は偶関数なので係数Bn=0として答えを求めたのですが(cosx/2)はでてきませんでした。 そこで改めてBnについて計算してみるとBn=0とはならず(cosx/2)も出てきて答えと一致することを確認しました。 そこで質問なんですがf(x)が偶関数の場合でもBn≠0の可能性があるということでしょうか? うまく説明できてないかもしれませんがよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
一言居士さん(?!)でしょうか、とても良いサイトを御紹介下さって、誠に感謝します。有難うござました。