【問題】lim[a→+0]∫[a～π/2]{sin(2n+1)x/si

質問

【問題】lim[a→+0]∫[a～π/2]{sin(2n+1)x/sinx}dxを求めよ。

この前の問題で(1+2cos(2x)+2cos(4x)+・・・+2cos(2nx))=sin(2n+1)xであるということは求めました。それでこれを上の式に代入してsinxを消してみたのですが、それからどうしたらいいのかわかりません。?で表してみることも考えたのですが…
どうすればいいでしょうか＾＾；

どなたかよろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

やはり、sin(x)でしたか。＾＾

この等式から sin(2n+1)/sin(x)をそのまま置き換えることができますね。
あとは、∫[a～π/2] cos(2kx) dx の積分が計算できれば、その和を求めればいいことがわかりますね。
和をとる前に、極限をとるようにします。

ただし、「初項の 1」は除きます。
これは普通に計算してしまいましょう。
#2さんの回答を見ると、どういうことになるか想像はつくかもしれませんね。＾＾；

お礼

たぶん…
わかりました＾＾；

結局aが0に近づくので
sin2akがsin0に近づく。つまり０に近づくってことですね？？
ありがとうございましたーー＾＾ｗ

補足

ご回答ありがとうございます。
?[k=1～n]cos(2ak)となったのですが
これの極限のとりかたはどうしたらいいのでしょうか？？＾＾；

回答No.2

aquatarku5

与式をnに依存すると見て、これをI(2n+1)とおく。

I(2n+1)=∫[+0～π/2]{sin(2n+1)x/sinx}dx
=∫[+0～π/2]{sin2nx・cosx/sinx+cos2nx}dx　※sin(2n+1)x=sin(2nx+x)とし加法定理を適用
=∫[+0～π/2][{sin(2n-1)x・cosx+cos(2n-1)x・sinx}cosx/sinx]dx
=∫[+0～π/2]{sin(2n-1)x・(1-sin^2(x))/sinx+cos(2n-1)x・cosx}dx
=∫[+0～π/2][{sin(2n-1)x/sinx-sin(2n-1)x・sinx+cos(2n-1)x・cosx}/sinx]dx
=I(2n-1)-∫[+0～π/2]cos(2n-2)x・dx
=I(2n-1)
…
=I(1)=∫[+0～π/2]dx=π/2

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞この前の問題で (1+2cos(2x)+2cos(4x)+・・・+2cos(2nx))=sin(2n+1)x
この等式、なにか抜けていたりしませんか？
このままでは成り立たないような気がして・・・

一度、確認願います。

お礼

ありがとうございます。

補足

すみません＾＾；
(1+2cos(2x)+2cos(4x)+・・・+2cos(2nx))*sinx=sin(2n+1)x
でした＾＾；

本当に申し訳ありません・・・