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京大(文系)微分方程式の解法と意味について解説
- 京大(文系)微分方程式の解法と意味について解説します。問題の整式f(x)と実数Cについての条件を満たす解を求める問題です。
- 解法として、整式f(x)をn次のものと仮定し、左辺と右辺の最高次数を比較することで条件を導きます。具体的な計算手順も示します。
- (ii)の場合について詳しく解説します。場合分けした結果、n+1≦2の場合は条件を満たすことが分かります。
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整式f(x)と実数Cが インテグラル(上端x/下端0)f(y)dy + インテグラル(上端1/下端0)(x+y)^2dy = x^2 + C を満たすとき、このf(x)とCを求めよ。 という問題です。 展開してxを出すと、 インテグラル(上端x/下端0)f(y)dy + x^2インテグラル(上端1/下端0)f(y)dy + 2xインテグラル(上端1/下端0)yf(y)dy = x^2 + C となりますが、模範解答ではここから両辺をxで微分しています。 しかし、私はこれを微分方程式として、f(x)をn次式とおいて、解いてみました。 f(x)をn次式とおくと、 (左辺の最高次数)≦ n+1 (右辺の最高字数)= 2 与式はxについての恒等式であるから、(左辺の最高字数)=(右辺の最高次数)より、 2 ≦ n+1 n ≧ 1 となってしまいます。本当は n ≦ 1となるべきところですよね? このタイプの微分方程式の問題は以前にも解説をしてもらい、前回質問したときの問題では解決したのですが、 問題が変わり、前回と同じやり方で解こうとすると、このように結果があわなくなってしまいます。 私が解いた方法でどこが間違った答えが出た原因になっているのか教えてください。 数学は苦手なほうなので、詳しめに解説してもらえるとありがたいです。 また他の解き方があれば、そちらも教えてほしいです。 もちろん、メインはどこが間違っているのかという方ですが。 それではよろしくお願いします。
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y''=f(y)の一般解の求め方で 両辺に2*y'をかけて、xで積分すると (y')^2 = 2*∫f(y)dy + C_1 になると書いてあるのですが 右辺は求められたんですが左辺がどうしてそうなるのかがわかりません。 自分でやった計算では ∫(y'' * 2*y')dx =∫(y'' * 2*(dy/dx))dx =2*∫(y'')dy =2*y' となってしまいます。 なんとなく間違ってるとは思うのですが 正しい方法がわからないのでアドバイスお願いします。
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次の問題がわかりません。 次の微分方程式を解け。 (1)(x-y)(dy/dx)=2y (2)dy/dx=y/x+sin(y/x) (1)(x-y)(dy/dx)=2y (dy/dx)=2y/(x-y) 右辺の分母分子をxで割る (dy/dx)=2y/x/(1-y/x) y/x=uとするとdy/dx=u+xdu/dxより u+xdu/dx=2u/1-u xdu/dx=2u/1-u -u xdu/dx=u+u^2/1-u (1-u)du/(u+u^2)=dx/x 両辺を積分 の左辺の積分がわかりません。それかもっといい方法あったら 教えてください。 (2)y/x=uとするとdy/dx=u+xdu/dxより u+xdu/dx=u+sinu xdu/dx=sinu du/sinu=dx/x 両辺を積分 の左辺の積分がわかりません。お願いします。
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微分可能な関数f(x)が, ∫[0~x]f(t)dt=x^3-3x^2+x+∫[0~x]tf(x-t)dt をみたしている. このとき, f(x)を求めよ. 与式の左辺をF(x), 右辺をG(x)とおくと, F(x)=G(x) ⇔ F'(x)=G'(x) かつ F(a)=G(a)となるような定数aが存在するー(※) F(0)=G(0)=0より, (※) ⇔ F'(x)=G'(x) h'(x)=f(x), g"(x)=f(x)とすると ∫[0~x]tf(x-t)dt=[-tf(x-t)][0~x]+∫[0~x]F(x-t)dt=-xF(0)-g(0)+g(x) より,与式の両辺をxで微分すると, f(x)=3x^2-6x+1+F(x)-F(0)=3x^2-6x+1+∫[0~x]f(t)dtー(1) 再びxで微分して, f'(x)=6x-6+f(x) f(x)=yとおくと, dy/dx=6x-6+y 6x+y=uとおくと, dy/dx=du/dx-6より, du/dx=u u≠0のとき, du/u=dx ⇔∫du/u=∫dx ⇔log|u|=x+c (c:積分定数) ⇔u=±e^(x+c) ⇔y=±e^(x+c)-6x (1)にx=0を代入して,f(0)=1 ⇔ ±e^c=1 ⇔ c=0 ∴y=±e^x-6x また, u=0のとき, y=-6xより,(1)に代入すると, -6x=3x^2-6x+1-3x^2 ⇔ 0=1となり, いかなるxについてもこれは成り立たず不適. ∴f(x)=±e^x-6x 添削お願いします.
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補足
解説ありがとうございます 質問が2つあるのですが…(毎回すみません) 1) n の範囲を場合分けして、各場合について max(n+1,2) ≧ 2 が満たされるかどうかを チェックするのですが、 n+1 ≦ 2 の場合は、 max(n+1,2) = 2 となるので max(n+1,2) ≧ 2 が成立しているのです。 の部分ですが後半はわかりました 前半ですが max(n+1,2) ≧ 2 が満たされるかどうかをチェック するのならば(i)も満たされていませんか? (i)はn+1>2で チェックする式max(n+1,2)≧2は (i)の場合だとn+1>2またはn+1=2という意味ですよね? 2) 入試を意識して計算だけでなく 必要条件なども意識するようにしているのですが この問題だと必要条件はmax(n+1,2)≧2で それが十分かどうかを(i)(ii)で考えているのですか? まだ始めたばかりなので全く的外れかもしれません…