第二種スターリング数S(n,k)の増加・減少の予想
- 第二種スターリング数S(n,k)において、nを固定してkを動かすと増加・減少すると予想されています。
- 全射の総数k!S(n,k)においても同様の性質が予想されています。
- 第一種スターリング数の絶対値|s(n,k)|においても同様の性質が予想されています。
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第二種スターリング数S(n,k)でnを固定してkを動かすと増加・減少すると予想
第二種スターリング数S(n,k) http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html において、nを固定して、kを1からnまで動かすと、増加した後、減少になっていると予想しています。 おおまかな表現で書くと、極大値は最大値になっていそうです。 例えば、n=5のとき、S(5,1)=1<S(5,2)=15<S(5,3)=25>S(5,4)=10>S(5,5)=1となっています。 この証明、もしくは反例が分かる方がいらっしゃれば教えていただけないでしょうか? ちなみに、以下のことも疑問に思っています。 全射の総数k!S(n,k) http://www.ulis.ac.jp/~hiraga/mathinfo/docs/ans1.pdf の9頁(ただし記号は変えている)においても、同様の性質があると予想しています。 第一種スターリング数の絶対値|s(n,k)| http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html においても、同様の性質があると予想しています。
- aiueo95240
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＞nを固定して、kを1からnまで動かすと、増加した後、減少になっていると予想しています。 はい、aiueo95240さんの予想は正しいです。 これはよく知られた事実です。 「stirling number, unimodal」などといったキーワードで検索してみて ください。web上でも証明を見ることが可能なようです。 ＞第一種スターリング数の絶対値|s(n,k)| ＞… ＞においても、同様の性質があると予想しています。 これに関しても、aiueo95240さんの予想は正しいです。
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