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二項変換の逆変換、反転
n個からk個とる組合せをC(n,k)=n!/k!(n-k)!と書くことにします。 数列a[0],a[1],a[2],…に対して、次のようにb[0],b[1],b[2],…を作る。 b[n]=Σ[k=0,n](-1)^(n-k) C(n,k) a[k] このとき、 a[n]=Σ[r=0,n]C(n,r) b[r] であることを示したいのですが、どのように変形していけばよいのでしょうか？ なお、式は http://mathworld.wolfram.com/BinomialTransform.html を参考にしたので、書き間違いはないと思います。
- qqqqqhf
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おっと, #3 は b[k] = Δ^k a[0] のところがアウトですね. 順序を逆にして b[k] = Σ... = ... = Δ^k a[0] としないと危険. で, がんばって帰納法でやってみます. a[n; k] を a の k階 (前進) 差分と定義します. a[n; 0] = a[n], a[n; k+1] = a[n+1; k] - a[n; k] です. まず努力と根性で b[n] = a[0; n] であることを示します (ここも帰納法). で, a[n+1; k] = a[n; k+1] + a[n; k] を使い, n に関する帰納法で a[n; k] = Σ(r: 0→n) C(n, r) a[0; k+r] であることを証明します: n = 0 のときは自明. n = N で OK として n = N+1 のときを考えると a[N+1; k] = a[N; k+1] + a[N; k] = Σ(r: 0→N) C(N, r) a[0; k+1+r] + Σ(r: 0→N) C(N, r) a[0; k+r] = a[0; N+k+1] + Σ(r: 0→N-1) (C(N, r) + C(N, r+1)) a[0; r+k+1] + a[0; k] = C(N+1, N+1) a[0; N+k+1] + Σ(r: 0→N-1) C(N+1, r+1) a[0; r+k+1] + C(N+1, 0) a[0; k] = Σ(r: 0→N+1) C(N+1, r) a[0; k+1+r]. つまり a[n; k] = Σ(r: 0→n) C(n, r) a[0; k+r] なので k = 0 として a[n] = a[n; 0] = Σ(r: 0→n) C(n, r) a[0; r] = Σ(r: 0→n) C(n, r) b[r]. b[n] = a[0; n] も符号に注意すれば同じです... 多分.
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- Tacosan
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あ, a[n] と b[n] の途中に k階差分 (k = 1, 2, ..., n-1) をはさめば帰納法でもできるはずです. b[n] は a[n] の n階差分の初項だから～みたいな感じ.
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
あえて演算子法で処理してみる: 前進差分演算子を Δ, 前進演算子を E, 恒等演算子を I とします. Δa[n] = a[n+1] - a[n], Ea[n] = a[n+1]. Ia[n] = a[n] です. 明らかに Δ = E - I, E = Δ + I です. このように定義すると, b[k] = Δ^k a[0] = (E - I)^k a[0] = Σ(r: 0→k) E^r (-1)^(k-r) C(k, r) a[0] = Σ(r: 0→k) (-1)^(k-r) C(k, r) a[r] となりますが, 逆に E = Δ + I を使うと a[n] = E^n a[0] = (Δ + I)^n a[0] = Σ(r: 0→n) Δ^r C(n, r) a[0] = Σ(r: 0→n) C(n, r) b[r] が得られます.
- endlessriver
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A=Σ[r=0,n]C(n,r) b[r]としてb[r]を代入します。 A=Σ[r=0,n]C(n,r)｛Σ[k=0,r](-1)^(r-k) C(r,k) a[k]｝ この式の中からa[i]の項の係数を求めます。 このとき、始めのΣはr>=iだけとなり（a[i]がない）、つぎのΣはk=iのみとなります。するとその係数Bは B=Σ[r=i,n]C(n,r)｛(-1)^(r-i) C(r,i)｝です。 ここで(1+x)^n=Σ[r=0,n]C(n,r)x^rをi(<n)回微分してx=-1とすると 0=Σ[r=i,n]C(n,r){r!/(r-i)!}(-1)^(r-i) となります。この式を定数i!で割ればB=0となります（ただしi<nのとき）。i=nのときはB=1は明白。 以上から結論が得られます。
お礼
本当に本当に丁寧にありがとうございます。
- Tacosan
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ん～, b[n] って, a[n] の n階差分?
お礼
b[n] って, a[0],a[1],a[2],… の n階差分の初項だったと思います
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