簡単な確率の考え方について

質問

確率について、二つ分からないことがあるので、教えてください。

一つ目は、
今読んでいる本の中で、
「コインを10回投げて10回とも表が出る確率は1.000分の1以下だが、900回投げたうち、一度でもいいから
　10回かそれ以上連続で表が出る確率は3分の1以上になる。9.000回投げたら、確率は100分の99だ。」
という記述がありました。
一番初めの、10回投げて～の確率は2の10乗で1024分の1というのは分かります。
しかし、そこから後が分からないので、簡単な数式か、もしくは分かりやすい日本語で教えてください。

二つ目は、
宝くじについてなのですが、例えば、
10.000分の1の確率で当たる宝くじを、一枚買ったら、当たる確立は10.000分の1。
これは分かります。
問題は、10枚買ったときなのですが、10枚買ったときの当たる確立は、10.000分の10＝1.000分の1という考え方ですか。
それとも、当たりは1枚だと決まっていて、10枚中9枚は外れるので、991分の1と考えるのですか。

ちなみに、質問者である私は、算数や数学がかなり苦手ですので、
子供に教える感覚で教えて頂けると助かります。

宜しくお願いします。

回答No.4

B-juggler · ベストアンサー

うわ～　もう解答が出てる＾＾；　Ｎｏ．１です

私もプロでして・・・。
　＃大学の非常勤講師です。
　＃ちょっと専門が違いますが。

宝くじのほうで、確率の話を（入り口の間違いやすいところを）
させてもらおうかと思っていたのですが・・・。

結論から言うと、Ｎｏ．２さんの答えが、厳密な数学です。

もう少し引っ張るんでしたかね～～。

掛け算と足し算、これが意外と間違いやすいので。
ここの説明をさせてもらおうと思ったんだけど＾＾；

宝くじのケースだと、一枚が常に　（１／１万）で当選します。
だから、外れる確率は　（当たる確率）＋（外れる確率）＝１より

外れる確率＝１－（当たる確率）＝（９９９９／１万）

これが１０枚あります。二枚買って二枚とも外れるのは
（９９９９／１万）が二枚（２回！）あると考えればいいので
掛け算になります。
　＃ここがちょっと注意です。
　＃一枚はずれ　かつ　二枚目もはずれ
（９９９９／１万）×（９９９９／１万）＝（９９９９／１万）＾２
　＃　＾２　二回掛けるという意味ですよ
　＃　＾３　こうやれば三回ですね。

そこで１０枚全部外れるのは　（９９９９／１万）＾１０　になります

１－（１０枚全部外れる確率）＝少なくとも１枚は当たっている
と、できますから、Ｎｏ．２さんの式になります。

さて、足し算のケースは、どこで出てくるのかをちょっと考えましょう

サイコロを二つ振ります。
このとき出た目の合計が　７　になる確率は？

この問題を考えます。
出た目の合計が７ですから、（１＋６）　（２＋５）　（３＋４）
がそれぞれ二つずつありますね。

二つのサイコロを振ったときの目の出方は全部で　６×６ですね
３６通りありますから、これを分母にします。

２／３６　＋　　２／３６　＋　　２／３６　＝　１／６，，
↑（１＋６）の場合　↑（２＋５）　↑（３＋４）

このときは、足し算になります。これはなぜか？
簡単に言うと、独立している！　と思ってください。
　＃同時には成り立たない、としたほうがいいかもしれませんが、
　＃ちょっと難しいです。

ご存知のことでしたら申し訳ありませんが、
もしもとも思いましたので。

なんでもそうですが、基礎固めが大事ですから＾＾；

お礼

回答がすでに出ているのに、丁寧な解説ありがとうございます。

>>外れる確率＝１－（当たる確率）＝（９９９９／１万）
や
>>１－（１０枚全部外れる確率）＝少なくとも１枚は当たっている
などの、外れる確率から当たる確立を導き出すという考え方を持っていなかったので、
とても参考になります。

特に
>>１－（１０枚全部外れる確率）＝少なくとも１枚は当たっている
この計算は、納得はしていても、今後使いこなせるかと言われると微妙なところです。
読んでいて、１０枚全部外れるんだから、少なくても１枚は当たってるというところは理解できるんですが、
普段そういった考え方をしないので、なかなか馴染めません。

足し算の方は、
その数が出来る場合を考えて、全部足しちゃえばいい！
という感じで理解しました。
独立している！というのは、とてもイメージしやすいです。

２回も丁寧に、ありがとうございました。

回答No.3

nag0720

一つ目の問題は、そう簡単には計算できないでしょう。

高校程度の数学の知識が必要ですが、一応回答しておきます。

コインをｎ回投げて10回以上連続で表が出る確率をP(n)とします。
P(10)=1/2^10　は分かりますね。
P(11)は、全部表か、始めの１０回が表で最後が裏か、最初が裏で後の１０回が表の３通りなので、
P(11)=3/2^11
同じように考えれば、P(12)は８通りあるので、
P(12)=8/2^12=4/2^11
以下、
P(13)=20/2^13=5/2^11
P(14)=48/2^14=6/2^11
P(15)=112/2^15=7/2^11
と続きます。
一見、P(n)=(n-8)/2^11　のように見えますが、nが20を超えるとこの法則は成立しなくなります。
詳しい説明は省きますが、この数列の漸化式は、
P(n)=P(n-1)+{1-P(n-11)}/2^11　(n≧11)
です。

この式から、P(900)とP(9000)を計算すると、
P(900)≒0.35453
P(9000)≒0.98788
となります。

お礼

やさしく解説していただいてありがとうございます。

>>高校程度の数学の知識が必要ですが
確かにその通りみたいで、

>>一見、P(n)=(n-8)/2^11　のように見えますが、nが20を超えるとこの法則は成立しなくなります。
>>詳しい説明は省きますが、この数列の漸化式は、
>>P(n)=P(n-1)+{1-P(n-11)}/2^11　(n≧11)
>>です。
上記部分に関しては、とても理解したとは言えないです。

>>P(n)=P(n-1)+{1-P(n-11)}/2^11　(n≧11)
に数字を当てはめて計算してみましたが、答えがでない・・・
おそらく、具体的な数字の当てはめ方が間違っているのだとは思うのですが、
色々なパターンでやってみても、計算結果がP(900)≒0.35453になりません。
回答を締め切らなければよかった・・・

まだ補足に書き込めるなら、具体的に数字を入れた式を書いていただけたらありがたいです。

回答No.2

eos5qd

一つ目
コインを900回投げた結果を順番に書き出したとします．
そうすると，「連続した10回の組み合わせ」は，
　1回目～10回目　から　891回目～900回目
まで，全部で891組あることになります．

これら「891組のすべて」で，表のみの組み合わせにならない
（つまり連続した10回すべてで表という結果になってない）確率は，
　(1-1/1024)^891≒0.419
となりますので，「一度以上は連続して10回とも表になっている」
という確率は1-0.419=0.581になります．

二つ目
1枚の宝くじが当たる確率は1/10000なので，はずれる確率は9999/10000
です．
よって，10枚買ったときに1枚は当たる（2枚以上当たっているか
もしれない）確率は，全体から10枚が全滅する確率を引けばよい．
なので，1-(9999/10000)^10≒0.00099955です．
感覚的にはだいたい1/1000くらいのもんですが，数学的には違います．

お礼

下記部分を読んでいたら、よく分からなくなってきたために、
一晩寝ながら考えていたので、御礼が遅くなって申し訳ないです。

>>これら「891組のすべて」で，表のみの組み合わせにならない
>>（つまり連続した10回すべてで表という結果になってない）確率は，
>>(1-1/1024)^891≒0.419

起きてから、分数と累乗計算が出来るフリーソフトの電卓使って
色々と計算してみたら、ようやく納得できました。

宝くじの方は
>>10枚買ったときに1枚は当たる（2枚以上当たっているか
>>もしれない）確率は，全体から10枚が全滅する確率を引けばよい
こういった考え方をしたことがなかったので、とても参考になりました。
数学的には違いますというのも、なんとなく分かりました。

ありがとうございました。

回答No.1

B-juggler

こんばんは

２つめのほうを先に。
　＃１つ目はゆっくり行きましょう
　＃それか詳しい方が、やってくださるでしょう
　＃私の専門領域とはちょっと違うので。。

宝くじの確率の話はよくあります。
今、あたりは（１／１万）　ですかね。

１０枚買えば、（１／１万）が十枚あるんですね。
こういうとき、一枚の確率は常に（１／１万）ですね。

あとは、これが１０枚あるのですから、確率は足し算になります。

（１／１万）＋・・・・・＋（１／１万）　←１０個あります

で、１０×（１／１万）　になりますので　１／１０００になります。

確率の話で難しいのは、「足し算」の場合と「掛け算」の場合です。

これが結構難しいです・・。

お礼

すばやい回答ありがとうございます。

やはり、10/1万で約分して、1/1.000なんですね。

分かりやすい説明で、助かりました。
ありがとうございました。