数A図形問題

質問

以下の問題の（２），（４）が解けず困っています．お時間ある方よろしくお願いします．

BA=BC=1,∠ABC=90°である直角二等辺三角形ABCの内部に，3点P,Q,Rを∠BAP=∠BCQ=∠ACR=∠CAR=15°，∠ABP=∠CBQ=30°となるようにとる．
このとき次の問いに答えよ．なおcos15°=(√6+√2)/4を用いよ．

（１） AR=√3-1であることを示せ．
（２） APの長さを求めよ．
（３） ∠APR=90°であることを示せ．
（４） ΔPQRの面積を求めよ．

回答No.2

spring135

図形の実力が出る問題です。三角形に関する正弦定理、余弦定理がつかえないと無理でしょう。ＯＫですか。
∠APB=∠CQB=135°,∠ARC=150°,∠BPQ=∠AQP=75°を確認すること。
(1)ARcos15°=ac/2=√2/2
これからcos15°=(√6+√2)/4をつかって計算するとAR=√3-1
(2)ΔAPBにおいて正弦定理より
　AP/sin30°=AB/sin135°
これより
　AP=√2/2
(3)ΔAPRにおいて余弦定理より
　PR^2=AP^2+AR^2-2APARcos15°
(1),(2)の結果を用いて
　PR^2=7/2-2√3
AP^2+PR^2=AR^2
となることを確かめて∠APR=90°
(4)∠APR=∠CQR=90°
∠BPQ=∠BQP=∠ARP=∠CRQ=75°
が解ればΔPQRは正三角形であることが分かる。
　その面積Sは
S=PR^2sin60°/2=(7√3-12)/8

お礼

ありがとうございます．
（３）は三角形の合同条件でも解けそうですね．

回答No.1

debut

(2)
ＰからＡＢに垂線ＰＨを引けば
△ＡＨＰから、ＡＨ＝ＡＰcos15°、ＰＨ＝ＡＰsin15°
△ＢＨＰから、ＰＨ＝ＢＨtan30°＝(１－ＡＰcos15°)tan30°
よって、ＡＰsin15°＝(１－ＡＰcos15°)tan30°が成り立つ。
ＡＰについて解けば、
ＡＰ＝tan30°/(sin15°＋cos15°*tan30°)
　　＝(1/√3)/(√6/3)
　　＝1/√2
　※sin15°=(√6-√2)/4 です。

(4)
ＰＨ＝(1/√2)sin15°＝(√3-1)/4
よって、ＰＢ＝(√3-1)/2
三角形の面積の公式で１つ１つ求め、全体から引けば、
△ＡＲＣ ＝(1/2)(√2)(√3-1)sin15°＝(2-√3)/2
△ＡＢＰ＝△ＢＣ Ｑ＝(1/2)(1/√2)sin15°＝(√3-1)/8
△ＡＰＲ＝△Ｃ ＱＲ＝(1/2)(1/√2)(√3-1)sin15°＝(2-√3)/4
△ＢＰＱ＝(1/2){(√3-1)/2}^2sin30°＝(2-√3)/8
∴△ＰＱＲ＝1/2-(2-√3)/2-(√3-1)/4-(2-√3)/2-(2-√3)/8
＝(7√3-12)/8

あるいは、ＰＱＲが正三角形であることを確認(角度)し、△ＡＰＲ
での三平方の定理から　ＰＲ^2＝(7-4√3)/2。
これに(√3)/4をかけて　(7√3-12)/8　の方が簡単でした。
　　※１辺ｘの正三角形の面積は{(√3)/4}ｘ^2　です。

お礼

助かりました．ありがとうございます！