【高校数学】ベクトル・平面図形

質問

三角形ABC(A(-2,0),B(2,0),C(1,4))の辺AB,BC,CA上にそれぞれ点P,Q,Rをとる。
三角形PQRがRを直角とする直角二等辺三角形となるよう三点を動かす時三角形PQRの面積が最小となるような点Pの座標を求めよ。

という問題を、
座標で解くと高次化しそうなので
ベクトルで解こうと思い、
三角形PQRが直角二等辺三角形三角形という条件から
→PR・→RQ=0
|→PR|=|→RQ|
という二つの式を立式して解いて行ったのですが、行き詰まってしまいました。(その後座標で再チャレンジしましたがやはり文字の多さと高次化の解消が出来ず行き詰まってしまいました)

この方針が正しいかということと、解き方をご教授お願いいたします(u_u)

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ちゃんとは解いていませんが、内積とかを持ち出すと結局二次の項が
出てくるので、下記のようなのはどうでしょう？

A,B、Cの座標より
直線ABはｙ＝０
直線BCはｙ＝－４ｘ＋８
直線CAはｙ＝（４ｘ＋８）／３

ここで点Ｒの座標を（Ｘ、（４Ｘ＋８）／３）とし、
ベクトルＲＰを（ａ，ｂ）とするとベクトルＲＱは（－ｂ，ａ）

以上より
点Ｐの座標は（Ｘ＋ａ、ｂ＋（４Ｘ＋８）／３）
であり、これが直線ＡＢ上にあるので
ｂ＋（４Ｘ＋８）／３＝０　・・・（１）

また点Ｑの座標は
（Ｘ－ｂ、ａ＋（４Ｘ＋８）／３）
であり、これが直線ＢＣ上にあるので
ａ＋（４ｘ＋８）／３＝－４Ｘ＋４ｂ＋８　・・・（２）

（１）と（２）で変数が３個、式が２個なので、ａおよびｂをＸで表すことができます。・・・（３）

三角形ＰＱＲの面積が最小ということはＲＰの長さが最小ということなので、
（３）の結果をａ＾２＋ｂ＾２に代入すればＸの二次式ができますのでその値の最小値を
求めることができます（Ｘの範囲は－２＜＝Ｘ＜＝１）

考え方だけですが、どうでしょう？

回答No.2

bran111

Rのx座標をとする。

ACの方程式:y=4(x+2)/3 ⇒　R(t,4(t+2)/3)

RPの傾きをmとする。 ⇒　RPの方程式:y-4(t+2)/3=m(x-t) ⇒　P(t-4(t+2)/3m,0)

RQはRPに直交するので傾きは-1/m。 ⇒　RQの方程式:y-4(t+2)/3=-(x-t)/m

RQとBCの交点としてQの座標を求める。BC:ｙ＝-4ｘ+8

　 ⇒　Q((4mt+3t-16m)/3(1-4m),(-16mt-32m+12)/3(1-4m))

RP^2=[4(t+2)/3m]^2+[4(t+2)/3]^2=16(t+2)^2(m^2+1)/9m^2

RQ^2=[(4mt+3t-16m)/3(1-4m)-t]^2+[ (-16mt-32m+12)/3(1-4m)-4(t+2)/3 ]^2
=16(t-1)^2(m^+1)/9(1-4m)^2

⊿PQRは２等辺直角三角形であることからPR=QR

16(t+2)^2(m^2+1)/9m^2=16(t-1)^2(m^+1)/9(1-4m)^2

m^2(t-1)^2=(t+2)^2(1-4m)^2

m(t-1)=±(t+2)(1-4m)

図から明らかなように

m<0, t-1<0,t+2>0,1-4m>0

よって±のうち+が適する。

m(t-1)=(t+2)(1-4m)

m=(2+t)/(5t+7)　　　　　（1）

⊿PQR＝RP^2/2=8(t+2)^2(m^2+1)/9m^2

（1）のｍを代入して

⊿PQR＝(8/9)[(5t+7)^2+(t+2)^2]=(208/9)(t+37/26)^2+4/13

最小となるのはt=-37/26, m=15/367

　P(t-4(t+2)/3m,0)=(-33/26,0)