最大をとるとき

質問

正三角形の紙がある。３つの頂点をＡ、Ｂ、Ｃとし、辺ＡＢ上の１点Ｄと辺ＡＣ上の１点Ｅとを結ぶ線分に沿ってこの紙を折り曲げ、頂点Ａが辺ＢＣの上に落ちるようにする。線分ＢＤの長さを最も大きくするには、ＡＤとＡＢの比をどのように定めればいいか。という問題なのですが、写真のようにｘとθを定めたら、ｘ＝√3/(2sinθ＋√3）となってｘが最小のときを考えればＢＤが最大を取るのですが、もしＢＤをｘと置いたら、ｘ＝2sinθ/√3＋2sinθとなってこの場合はｘが最大の時を考えるのですが、この場合分母分子にsinがあるので分母が増加すれば分子も増加するので、最大を取るときが考えづらいのですが、この場合はどうなのでしょうか？

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

分母・分子に共通して sinθが表れているので、分母・分子を sinθで割ってみましょう。
すると、（以下の式では共通因数として 2sinθで割っています）
x＝ 1/{ 1+√3/(2sinθ) }

と表されます。

xが最大となるのは
⇒ 分母が最小となるとき
⇒ 分母が最小となるのは、√3/(2sinθ)が最小となるとき
⇒ √3/(2sinθ)が最小となるのは、sinθが最大となるとき

θの範囲をきちんと与えていれば、これで xが最大となるθを与えることができます。

あと、1/sinθの係数となっている √3/2について、√3/2＜ 1であることから、
分母が 0になることはないということも押さえておくべきだと思います。
（最大となるときがわかれば、自明ですが）

式の形によっては、微分を使わないといけなかったかもしれませんね。

お礼

あ、式変形すればできました・・・
みなさまありがとうございました＾＾

回答No.2

noname#250262

ｘ＝2sinθ/√3＋2sinθ　が正しいことを前提にします。

x = 2 sin θ / (2sinθ＋√3）
　= ( 2 sin θ + √3 ) - √3 / (2sinθ＋√3）
　= 1 - { √3 / (2sinθ＋√3）}

と式変形すれば
sinθ　が最大　⇒　x が最大となりそうですが、

お礼

変形すればよかったですね＾＾
ありがとうございました