DACとサンプリング定理

質問

不勉強なのでしょうが、サンプリング定理でいわゆるサンプリング周波数の半分までの原信号を復元できる、というのが数学的に証明されているのはよいのですが、
現実のＤＡＣにおいて、それがどのように実装されているのかが良く分かりません。

単にデジタル化された数値の電圧を次々に出力しているだけのように思えます。（よくある階段状の出力波のイメージのやつです。）
また原信号の復元イメージを描いた図などでは、ある時点のサンプリングされた点の波形を再現するには、次の（未来の）点、さらに次の（未来の）点・・と、寄与は少なくなるものの、完全に原信号を再現するには、すべての量子化された点の情報が必要になるように思えます。

結局、サンプリング定理によれば原信号を再現できるが、現実には再現していないのではないか、と思えてなりません。

分かりやすい説明（イメージ的なものでもよいです）をしていただけると嬉しいです。

回答No.4

migsis

No.1です。
この点に疑問を持たれたということは、理論に疑問を持たれたということなので、ご指定のページの”一意的に元信号を与える”と記載されている上の数式を理解した上で、実際に実験、つまり信号源とデジタルオシロスコープを用意して観測し、納得して頂くしかないと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

サンプリング定理が”一意的に元信号を与える”というのは、或る時点の過去および未来の”信号のサンプル値列”が全て知りえる場合ですよね？

サンプリング定理が原信号を再現できない、と言っているのではなく、既存のＤＡＣがサンプリング定理に従うような原信号を再現していない、のではないか？という疑問です。

例えば同じ値の（量子化された）値が２つ続いたばあい、この間の原信号を再現するには、この左側つまり過去分の信号と、右側つまり未来分の信号の情報がなければ再現不可能なのは分かると思います。
（できるというのは、未来の株価を１００％当てる予想ができるというのと同じことでしょう。）

唯一、サンプリングされている点においては、他の値からの寄与は０になるので、ここが”未来の信号は関係ない”と言えますが、このことはその間の原信号を復元する上で未来の信号の寄与が関係ないということではありません。

回答No.3

iBook 2001（@iBook-2001）

はじめまして♪

サンプリングに関する勉強をされるのでしたら、DACじゃ無くて、ADC側でしょうかねぇ～

階段状の波形をイメージされると言うことは、PCM方式でしょうか？

例えば、５０KHzでサンプリングしたPCM信号をDACで復調（アナログ化）した時、階段の前後が５０KHzで、エッジ部分はMHz以上の急峻な電圧変化となります。　そのまま数十メガヘルツまで増幅可能なアンプが有ったとして、スピカーやヘッドホンへ信号を送りますと、そんな帯域まで対応できないのですが、万が一対応可能なシステムだとしても、人間が聞き取れる周波数の限界があり、階段状な信号だとは気づかないのですよ。

現実的にはスピーカーやっヘッドホンもそんな周波数に対応していませんけれどね。

実際には、想定外の信号が大きく入ってくる事で、アンプやスピーカー等　人が聞こえない部分で大電力による破損を起こしますので、不要帯域としてフィルタで減衰させています。

これにより　PCMでは　１ビットのon/off信号まで再現できると言う考え方です。　
つまり、正弦波を元に２０KHzはon/offペアが１秒間に２０万回、サンプリングにはonとoffを区別して取り込むために２倍の40KHzでのサンプリングが最低限必要と言う考え方でしょう。

まぁ、数学や科学だけでは音楽はわからないので、オーディオマニアは全く別次元で音質を語っている場面が多いようですね（苦笑）

なお、各社の技術でアナログに近くするための手法は、人の「聴感」によるもので、数学とは無関係です。（←こちらに関心がございましたら、追加質問してください。　私個人の考えかたでは有りますが、よろしければ報告いたしたいと思いますよ～♪）

お礼

お返事ありがとうございます。

私が知りたいのは、サンプリング原理で原信号が完全に復元されるにはすべての情報が必要だが、現実のＤＡＣは未来（の音）の情報を知りえないので、原信号とは異なる波形が出力されているのではないか？
という私の理解（疑問）に対する回答です。

よろしくお願いします。

回答No.2

migsis

No.1です。

未来の点を知る必用はないですよ。

仮にt0,t1,t2とあったとして、t1とt2の変化がすごく急だとしたら、確かにt0とt1の間の変化も急である場合が多く、確かにt2の関与という見方ができると思います。

しかしこの話し、グラフで書くと横軸が時間での議論ですが、横軸を周波数に変換すると、その急な変化は高い周波数成分で構成されており、サンプリングの1/2より低ければ、元にもどって時間軸のグラフで見て再現できると見えますし、高ければ再現できない、ということになります。

波形というのは、あらゆる周波数のレベルと位相の総和ですから、結局は原信号の周波数成分がサンプリングの1/2より低い周波数成分のみで構成されているならばいいです。サンプリング定理は、原信号がサンプリング周波数の1/2までで構成されているとき、フィルターで広域成分を除去すれば原信号を完全に復元されることを示しています。

お礼

早い回答ありがとうございます。
まだ書き込みをよく理解できていないところがありますが、それを承知で私の疑問点を書き込ませていただきます。

図があったほうが分かりやすいと思いますので、
http://www.yobology.info/text/sampling_theorem/sampling_theorem.htm
の下から４つめのグラフ
http://www.yobology.info/text/sampling_theorem/img6.gif
を参考にさせていただきます。
この図の左から２つ目と３つ目の黒点の間の、赤色の原信号は、２つ目の点から下にいき、３つ目の点より低い位置で上向きにかわり３つ目の点を通過しています。このような形になるには４つめの点が３つ目の点より上にある、という情報が必要であるのが解ると思います。
逆にいえば、２つ目、３つ目の点の位置が同じでも４つ目の点の位置が３つ目より低い位置にある場合は、赤色の原信号のラインは全くちがったものになるということです。

サンプリング定理においては、全ての黒点の情報から原信号を再現できるというものだと理解していますが、現実のＤＡＣにおいては未来の点の位置は当然知りうるべくもなく、結果、原信号の再現は出来ていないのではないか？
というのが私の疑問です。

回答No.1

migsis

イメージ的に述べたいと思います。

出力された電圧は当然階段状になりますので、サンプリング周波数の１／２までの信号が通過できる急峻なフィルターを通過させ、現信号を再現します。フィルターを通すことにより、なめらかな波形になります。

しかし、このような急峻な減衰特性のフィルターは複雑な回路となりコスト高になることや、音質に問題を与えやすいことなどが、オーバーサンプリングという手法がＣＤプレーヤー初期から使われるようになりました。

オーバーサンプリングするとフィルターのカットオフ周波数を高い方へずらすことが出来るので、フィルターの設計生産が楽、音質的な問題も少ない、という具合です。

とにかく、階段状ということは高い周波数成分をたくさん含んでいるので、無用な高い周波数成分を除去すれば元の波形になる、ということです。

お礼

早速の回答、ありがとうございます。

最後の１文で、なんとなく分かったような気がしました。
が、よくよく考えるとやはりよくわかりませんでした。

ちょっと説明しづらいですが、量子化された現在の音のポイントをt0として、次のポイントをt1、その次をt2・・・としますと、t0からt1の間の復元される波形は、その次のt2の値が大きくかかわってくるでしょうし、その次のt3の値もt2ほどでないでしょうが関与してくると考えられます。
結局t0からt1の原信号を正確に復元するためには、その次のt2以降の未来の値がわかる必要があるのではないでしょうか。