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スカラー値関数ψが存在することを示すにはどうしたらよいか、教えてください
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ベクトル解析におけるストークスの定理とは、 rot g を曲面 S 上で面積分した値は g を S の境界上で線積分した値に等しい というものです。 これにより、rot g が恒等 0 であれば、 全ての閉路積分が 0 になります。 固定点から空間上の点への二本の経路を考えると、 片方を行って他方を逆に戻る閉路での積分が 0 に なりますから、任意の経路での線積分は 両端の点ごとに一定です。 よって、それを ψ とすることができる。 ∇ψ は、計算してみてください。
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- alice_38
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g = g1 - g2 と置いてみましょう。 rot g = 0 ならば g = ∇ψ となる ψ が存在する ことを示せばよいのです。 ストークスの定理より rot g = 0 ならば g の閉路積分は 0 になるので、 g の線積分は端点のみで決まり、経路に依存しません。 よって、固定点から空間の各点までの g の線積分 を関数として定義することができます。 それを ψ とすれば、g = ∇ψ が成り立ちます。
お礼
遅くなって申し訳ございません。 解答ありがとうございます。 >g = g1 - g2 と置いてみましょう。 >rot g = 0 ならば g = ∇ψ となる ψ が存在する >ことを示せばよいのです。 ここまでは理解することができたのですが、 ストークスの定理について学んでいてないため、 いろいろ調べてみましたが、 この先の説明が自分の頭では理解できないです。 申し訳ございませんが、もう少し教えて頂けないでしょうか？
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