ジャンセンの不等式の証明

質問

pi>=0,Σ{(ｉ＝１～ｍ)pi}=1,f(x)は下に凸関数のとき、
　f｛Σ(i=1～m)pixi}>=Σ(i=1～m)pif(xi)
を証明せよ。で数学的帰納法で以下の証明があったが、※のところの変形がよく分かりません。よろしくお願いします。
f｛Σ(i=1～m+1)pixi}=f｛Σ(i=1～m)pixi+(pm+1)xm+1}
=f｛[1-pm+1]Σ(i=1～m)(pi/[1-pm+1])xi+(pm+1)xm+1}
>=[1-pm+1]f{Σ(i=1～m)(pi/[1-pm+1])xi}+(pm+1)f(xm+1) ※
>=[1-pm+1]Σ(i=1～m)(pi/[1-pm+1])f(xi)+(pm+1)f(xm+1)
= f｛Σ(i=1～m)pixi}+(pm+1)f(xi)
=Σ(i=1～m)pif(xi)

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

ジャンセンの不等式のｍ＝２の場合を適用しているだけです。
（∵ (1-pm+1) + (pm+1) = 1）

ただ、そのためには、ｍ＝２のとき正しいことが事前に示されている必要がありますが。