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位相の個数について(位相の基礎中の基礎に関する質問です)
位相の勉強をしているのですが、具体例が少なくてよくわかりません。 下の演習の答えを知りたいのです。教科書には具体的な解説が殆ど載っていないので解き方がわかりません。 問:X={a,b} かつaとbは異なるとき、X上に考えられる位相はいくつか? 答えは 3 だそうですが、具体的にどのような位相なのでしょうか? また 問:X={a,b,c} かつaとbとcは異なるとき、 X上に考えられる位相はいくつか? 答えは 29 だそうですが、具体的にどのような位相なのでしょうか? (全部書かなくてもいいので、せめて考え方だけでもお願いします)
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次の問題がわかりません。 なにか分かりやすいアドバイスをお願いします。 問. A= {x∈R :a≦x<b} =[a,b) (a<b), B= {y∈R :c≦y<d} =[c,d) (c<d) とするとき、次の問に答えよ。(証明つきで) (1)A×BはR^2の開集合であるか。 (2)A×BはS×Sの開集合であるか。 (1)の証明は、「A×Bに属する点で、εをどんなに小さくとっても、 その近傍の点がA×Bの部分集合にならないものがあるから、 開集合ではない。」でいいのでしょうか。 (2)は、まずAとBがSの開集合であることを示すために、 AとBがSorgenfrey直線の元であることを言いたいのですが、 どう証明していいのかわかりません。
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お礼
私の調べたのは、資料というか教科書です。 佛教大学という大学の「論証・集合・位相入門」というかなり初歩的な教科書にのっていた問題なのですが、結局一番目の問題では 4 が、二番目では 29 が正解で、一番目は教科書自体のミス、ということで落ち着きました。 お二方とも、返事が遅れちゃってすみませんでした。 回答ありがとうございました。