論理と集合の疑問

質問

√7は無理数であることを証明せよ。ただし、ｎを自然数とするとき、ｎ＾２が７の倍数ならば、ｎは７の倍数であることを用いてもよいものとする。

解説
√７が無理数でないと仮定すると、１以外に公約数をもたない自然数a,bを用いて√７＝a/bと表される。
このとき a=√７ｂ
両辺を２乗すると a^2=7b^2・・・・・(1)
よって、a^2は７の倍数である。したがって、aも７の倍数であるから、ｃを自然数としてa=7cと表される。
この、両辺を２乗すると a^2=49c^2・・・・・(2)
(1)、(2)から 7b^2=49c^2 すなわち b^2=7c^2
よって、b^2は７の倍数であるから、ｂも７の倍数である。
ゆえに、aとｂは公約数７をもつ。
これは、aとｂが１以外に公約数をもたないことに矛盾する。
したがって、√７は無理数である。

この証明に疑問があります。
(1)まず、を自然数とするとき、ｎ＾２が７の倍数ならば、ｎは７の倍数であることを用いてもよいものとするとはどういうことですか？？
この文って明らかにヒントですよね。何をして解けといっているんですか？？

(2)よって、a^2は７の倍数である。したがって、aも７の倍数であるから、ｃを自然数としてa=7cと表される。この部分の発想がどうしてもわかりません。 どういう考えでこの部分の発想を考えているんですか？？

このように、この問題を１つ１つ論理的に理解できていません。 どうか論理的にわかりやすく教えてください

回答No.1

proto · ベストアンサー

＞この文って明らかにヒントですよね。何をして解けといっているんですか？？
だから実際にヒントを使ってますよね。
「よって、a^2は７の倍数である。したがって、aも７の倍数であるから、」
はい、この部分。

何をして解けとまでは言ってません、「√7=a/bと置いて両辺を二乗」して解くわけですがそこまではヒントにも含まれていません。

「√7=a/bと置いて両辺を二乗」して解く途中で、「a^2が7の倍数であるから、aが7の倍数」という理論展開をするのですが、これは断り無しに使ってよいほど自明ではないのです。
ですからこれを使う前にまず副題として証明が必要になります。
本来なら証明が必要なのですが、そこまで証明していると今回の証明全体が長くなってしまうので、「a^2が7の倍数であるから、aが7の倍数」というのは既知として用いて良いよということです。
証明を簡略にするためのヒントであって、解き方を直接示したヒントではありません。

＞よって、a^2は７の倍数である。したがって、aも７の倍数であるから、ｃを自然数としてa=7cと表される。
＞この部分の発想がどうしてもわかりません。 どういう考えでこの部分の発想を考えているんですか？？
これはヒントにある「ｎ＾２が７の倍数ならば、ｎは７の倍数であること」をそのまま使っただけです。
今回は証明無しに用いてよいとありますが、証明しようと思えば証明できます。そこまで難しくもありません。
ですが、丁寧に証明したところで「ｎ＾２が７の倍数ならば、ｎは７の倍数であること」がわかるだけで、√7が無理数であることの証明との深い関連性があるわけではありません。

証明ではありませんが、具体例を挙げて「ｎ＾２が７の倍数ならば、ｎは７の倍数であること」を見てみましょう。
例えば、
1225は
　　1225 = 7*175
より7の倍数、また
　　1225 = 35^2
だから、「n^2(=1225)が7の倍数ならば、n(=35)は7の倍数であること」より、35も7の倍数、
実際、
　　35 = 7*5
となって7の倍数になっています。

これはどんなnでも成り立ちます、n^2を7で割ってみて割り切れたなら、nもまた必ず7で割り切れます。
これの証明法が知りたいならば整数論を勉強しましょう。
まぁ、この質問への回答として証明を書けるくらいの量ではありますが。

回答No.2

koko_u_u

>ｎ＾２が７の倍数ならば、ｎは７の倍数であることを用いてもよいものとするとはどういうことですか？？

そこまで証明させようとすると、話がややこしくなるので、
この問題ではそこまで要求しない。という意味です。

>この部分の発想がどうしてもわかりません。

「発想がわからない」というのは、どのような状況なのですか？
論理の展開がわからない、という意味ですか？