三択→二択の確率変化について

質問

こんにちは。

量子力学についての一般向け解説書（講談社「ブルーバックス」のある１冊）をいま読んでいるのですが、その中に述べられている「確率」の考え方で、どうにも理解できないことがありました。
量子力学の考え方と関係があるのかもしれないと思ったので、こちらのカテゴリーで質問を投げさせていただきます。

そのまま引用すると長くなるので、問題箇所の要点を整理して書き直すと、

　1)Ａ，Ｂ，Ｃ３つの箱のどれか一つに百万ドルの「当たり」が入っていて、どれを選ぶか二回決めることができる

　2)あなたは一度目の選択でＡを選んだ

　3)出題者はＣの箱を開けて、それがカラであることを示した

　4)さてあなたは二度目の選択でどうするか？
　　（ａ）Ａ，Ｂどちらも同じ確率だから、あえて選択し直す理由はないので二度目もＡを選ぶ
　　（ｂ）Ｂを選び直す

…というものです。
私は、残った二つの中のどちらかが「当たり」なのだから、確率はＡ，Ｂどちらも半々だと思うので、（ａ）で良いと思いました。

しかしこの本の著者は
「物理学者や数学者も含め大部分の人はこの問題を最初に聞いたとき、次のように考える。『……お金の入っている確率は等しい』／しかしこれは大きな間違いである。……あなたの選択を変えるほうが完全に合理的な行為となる」

として、ＢのほうがＡより当たる確率が２倍になると述べています。
そしてその理由を以下のように説明しています。

「……（Ａに）お金が入っている確率は最初と同じで３分の１である。しかし、他の二つの箱のほうに入っていた場合、そのどちらにお金が入っているかについての貴方の無知は消滅している。最初の選択が間違っていた確率は３分の２であり、その場合、お金は中央の箱（Ｂ）にあることになる。選択を変えることで、勝つ確率が２倍になる。……」

この説明が私にはどうにも理解できないのです。
この説明を自分なりに解釈して書き直すと、次のようになると思います。

　・最初は、Ａが当たりの確率は１／３、ＢかＣのいずれかが当たりの確率は、合わせて２／３だった。
　・Ｃがカラだと判ったので、Ｂが当たりの確率は２／３になった
　・したがってＢのほうがＡよりもを選ぶ方が当たる確率が２倍である

…ということらしいのですが、何かヘンです。納得できないのです。

Ｃがカラであることが判明した時点で問題は３択から２択に変化したわけだから、Ａにお金の入っている確率も１／３から１／２に変化したのではないか？と思えてならないのです。

物理学にも数学にも素人の私ですので、どこかで解釈を間違うか勘違いしているのだろうとは思いますが、どこが間違っているのかが自分では判りません。

どなたか知恵をお借りできないでしょうか。よろしくお願いいたします。

回答No.2

tsuyoshi2004

これはゲームのルールが不明瞭でよくわかりません。

想像できるルール１
３つのうちの一つを選んだ後に親は残りの二つのうち、外れている箱を開ける（二つともはずれの場合は、任意の１つを開ける）
その後、残りの二つの箱のうちどちらかを再度選ばせる。

そう考えると、
最初にＡを選んで、しかも実はＡが当たりだった場合
Ｂを親が開ける確率は１／２。同様にＣを開ける確率は１／２。

最初にＡを選んで、実はＢが当たりだった場合
Ｃを開ける確率は１。

従って、Ｃを開けたとすれば、それはどちらかケースが発生していることになります。
するとＣを開けた場合のうち、２／３はＢが当たりになります。
逆にＣを開けた場合のうち１／３はＡが当たりになります。

というのが、ルール解釈の一つです。

もう一つのルール解釈は

想像できるルール２
３つのうちの一つを選んだ後に、選んだ物に関係なく、Ｃの箱を開ける。（Ｃが当たりだったらそこでゲーム終了）
または、
３つのうちの一つを選んだ後に選ばれていない２つの箱のうち当たりはずれに関係なく任意の箱を一つ開ける。（それが当たりならそこでゲーム終了）

これであれば、質問者さんの解釈で合っています。

お礼

ご回答ありがとうございます。

> これはゲームのルールが不明瞭でよくわかりません。

失礼いたしました。
前提条件を省略してしまいましたが、１回目の選択のあとで出題者は
　・回答者が選んだ箱は開けない
　・カラの箱を開ける
と言うことになっていますので、

> 想像できるルール１
にあたると思います。

> 従って、Ｃを開けたとすれば、それはどちらかケースが発生していることになります。
> するとＣを開けた場合のうち、２／３はＢが当たりになります。
> 逆にＣを開けた場合のうち１／３はＡが当たりになります。

なるほど、確かにその通りですよね。良くわかりました。

おかげさまで頭では理解できたのですが、自分の最初の考えはどこが間違っていたのかがまだ判らず、今ひとつ釈然としない想いが残っていますので、もう少し考えて見ます。

ありがとうございました。