• 締切済み

ジョルダン=ヘルダーの定理について

代数学のジョルダン=ヘルダーの定理 『群Gが組成列をもつとき、その長さは一定であり、組成因子の集合{Hi-1/Hi}も同型と順序を除いて一意に定まる。』 の証明方法がわかりません、、、。 群Gが2つの組成列をもつとして、それらの長さが違うとして、、、と背理法で証明しようと思いましたが、どう結論に結び付けるのかわかりません。 証明の仕方をご教授お願いします。

みんなの回答

  • ur2c
  • ベストアンサー率63% (264/416)
回答No.1

こんなの教科書に載ってますし、英語で検索すれば一発です。

関連するQ&A

  • 群論の同型定理について

    同型定理Bの証明について分からないので教えてください。 画像内の証明は参考書の証明です。 この過程が分かりません。 埋め込み写像とか、写像iやρが準同型になる理由など… KerfやImfが分かったところで、なぜ正規部分群になるのでしょうか? 1行ずつ分かりやすく説明していただけたら助かります。 正規部分群、核および像、準同型定理がどういうものかはなどは理解しています。 色々と分からないのですがよろしくお願いします。

  • Heine-Borelの被覆定理

    Heine-Borelの被覆定理:無数の円の一組が、全体として、有界なる閉集合Fを覆うならば、Fはすでに、それらの円の中の有限個だけで覆われる。 この定理の証明が背理法でなされるのなら、帰結部分が”Fは無限個の円で覆われる”ということでいいんですよね?

  • 群の同型について

    同型な群というのにはどのようなものがあるのでしょうか? 具体的な例を教えてください。 また、準同型定理や、同型定理を証明したのですが、具体的なものが考えられず、 いまいちイメージがわきません。 簡単な説明も兼ねて教えてくださると助かります。

  • Sylowの定理と位数14の群

    G:位数14の群 N:Gの7-Sylow部分群 H:Gの2-Sylow部分群 とし,写像f:H→Aut(N)を f(h)=(n↦hnh^-1) で定める. このとき, (1)Imf={e}⇒Gは巡回群 (2)fが単射⇒Gは二面体群と同型 であることを示せという問題なのですが,以下のように示しました. (∵) Sylowの定理より,Gの7-Sylow部分群の個数は1なので,NはGの正規部分群である.またN,Hの位数はそれぞれ7,2なのでともに巡回群となる.よってN,Hの生成元をそれぞれa,bとすると,a^7=e,b^2=e.一方,N∩Hの位数は2と7の公約数であることから1.ゆえにN∩H={e}.したがって G=NH={a^i b^j | a^7=e,b^2=e} (Gの任意の元はN,Hの元で一意に表せる) また,NはGの正規部分群であることから,ある整数mが存在して,bab^(-1)=a^mとなる.ここで, (a^m)^m=(bab^(-1))^m=b(a^m)b^(-1)=(b^2)a(b^(-2))=a すなわち,a^(m^2-1)=eとなるので,m^2-1は7で割り切れる.ゆえにある整数lが存在して, m^2-1=(m+1)(m-1)=7l と書けるので,m=7l±1. (1) m=7l+1のとき bab^(-1)=a^m=a^(7l+1)=a ∴ab=ba よってGはN,Hで直積分解でき, G≒N×H≒Z/14Z (≒は同型の意) ゆえにGは巡回群. (2) m=7l-1のとき bab^(-1)=a^m=a^(7l-1)=a^(-1) よってGは二面体群と同型. (証明終) こんな感じで(1),(2)を一気に示したのですが,(1),(2)の仮定を一切使っておりません.(1)については別個に仮定を使って示せましたが,(2)はどこで仮定を使ってよいかわかりませんでした. ご教示願います.

  • ハイネボレルの定理から

    領域Gにその閉包までが含まれる有界領域 /   _ / G':G'⊂GをGの部分領域と呼び、記号G'⊂Gであらわすことにします。 / _ /(G'はG'の閉包です) このとき、G'ε⊂Gとなるε>0の存在がハイネボレルの定理からわかるというのですが、なぜなのかわからなくて困っています。 ただし、G'εはG'のε-近傍で、G'ε=  ∪  U(x;ε) /                    x∈G'ε / ここで、U(x;ε)はxを中心とする半径εの開球です。 ハイネボレルの定理というのは、 「コンパクト集合Kの任意の開被覆から、有限個の開集合からなる部分被覆を  選び出すことができる。」 というものです。 なお、ここで言っているxはn次元ユークリッド空間における点をあらわしたものです。 ハイネボレルの定理の証明もちょこっと気になるところなのですが‥‥

  • G,G'を有限群とし,ψ:G→G'を準同型とするとき

    G,G'を有限群とし,ψ:G→G'を準同型とするとき Im ψの位数がG,G'の位数の約数となることを証明せよ. また,G,G'の位数が互いに素なとき,GからG'への準同型写像をすべて求めよ. という問題なのですが,Im ψがG'の部分群であり,ラグランジュの定理より Im ψの位数がG'の位数となることはわかるのですが,他がわかりませんどなたか解説お願いします.

  • A加群A(Λ)からA加群Mへの準同型写像と同型な物

    代数学、加群の勉強をしていたところ壁にぶち当たってしまいました・・・ Aは可換環とします。 A加群Mについて A(Λ)をAのΛによる直積(すべてのλ∈Λに対してAλ=A)とする 同様にM(Λ)も定めます HomA(A(Λ),M) と M(Λ) を考えたときこれら二つは同型になりますか? ちなみに AのΛによる直和を(+)Aとして HomA((+)A,M)とM(Λ)が同型なのは定理として証明が乗っているのですが、それを更に直積まで拡張した場合どうなるのかについては一切の説明がありませんでした。

  • 準同型写像がみたす性質

    Gを0を零元とする群、F:G→Gを準同型写像とします。 準同型定理、G/KerG~ImG              = がなりたちますが、他に満たす性質はご存知ないでしょうか。

  • 順序数の質問です。

    [集合の公理系ZF]において、 2つの順序数A,Bが、順序同型となる場合、AとBは(集合として)等しい。 A≅B⇔A=B これの証明を教えて下さい。 (書籍に証明が記載されていなかったので) 詳しい方お願いします。

  • 代数学の問題

    f:G→G'を準同型とする。 (1)Imf⊆G'を示せ (2)KerfがGの正規部分群になることを示せ (3)このfに対する準同型定理を説明せよ(説明不要) という問題なのですがどうしてもわかりません。 解答もなく困っています。 どなたか教えていただけないでしょうか? よろしくお願いいたします。