数学 微分

質問

y=e^(x)-e^(2x)　という関数を微分して凹凸と変曲点を求めろという数IIIの問題です。

で自分でやってみるとこうなりました

y'=e^(x)-2e^(2x)　微分

y'=0のとき
e^(x)-2e^(2x)=0
e^(x)=2e^(2x)　第2項を右辺へ
log e^(x)=log 2e^(2x)　両辺で底eの対数をとる
x=2xlog 2e　次数は前に出して左辺のlog eを消去
x-2xlog 2e=0　移動した項を左辺へ元に戻す
x(1-2log 2e)=0　xでくくる
x=0　カッコ内をまとめて割る

y"=e^(x)-4e^(2x)も同じやり方でx=0が出たんですが答えが違うからかそっから先が進めないので　答えが違うと思うんですが
これ計算あってますかね？

あと　自然対数が混ざっててグラフがどのようになるのかわからず
変曲点を出すのに困ってます
回答お願いします

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

logの計算で少し誤りがあるようです。

＞log e^(x)=log 2e^(2x)　両辺で底eの対数をとる
＞x=2xlog 2e　次数は前に出して左辺のlog eを消去

右辺についてですが、log(2*e^(2x))ですので
log(2*e^(2x))= log(2)+log(e^(2x))= log(2)+2x*log(e)
となります。「2x乗」は eにしかかかっていない(「2」にはかかっていない)ところが誤りのポイントとなっています。

少し違った計算の方法として、e^(2x)= (e^x)^2とみれば
y'= e^x*(1-2*e^x)
と変形できます。e^x＞0ですので、y'=0は後ろの括弧内が 0ということになります。

回答No.2

info22

>e^(x)-2e^(2x)=0
e^x=X(>0)とおくと
X-2X^2=0
X(1-2X)=0
X>0なので
X=1/2=e^x
∴x=log(1/2)=-log2

因数分解できるのになぜ↓こんなことをするのですか？
>e^(x)=2e^(2x)　第2項を右辺へ
両辺e^x(>0)で割れば　1=2e^x
となって e^x=1/2 →x=log(1/2)= ...
が出る。

>log e^(x)=log (2e^(2x))　両辺で底eの対数をとる

>x=2xlog 2e　次数は前に出して左辺のlog eを消去
　　　↑これ間違い
　x=log2 +2xlog e=log2 +2x
x=-log2　とならないといけない。

以降、全くだめ。
> x-2xlog 2e=0　移動した項を左辺へ元に戻す
> x(1-2log 2e)=0　xでくくる
>x=0　カッコ内をまとめて割る

>y"=e^(x)-4e^(2x)も同じやり方でx=0が出たんですが
>答えが違うからかそっから先が進めないので　答えが違うと思うんですが
y'と同じ間違い（指数関数やべき乗の計算の復習が必要かも。。。）

>変曲点を出すのに困ってます
e^(x)-4e^(2x)=0
両辺e^x(>0)で割って
1-4e^x=0
e^x=1/4　∴x=log(1/4)=-2log2

グラフを描いて添付しておきますので参考にして下さい。