線形代数の基本変形の問題の表記で困っています

質問

最初に問題を写します

問:　A=(1 1 0,-1 -1 2,-1 -1 0)___________(崩して書いてます)
を基本変形により単位行列に変形せよ
さらにPAQが単位行列になるような正則行列 P,Q を求めよ

解:　掃き出し法によると
1 1 0_(1)
-1 -1 2_(2)
-1 -1 0_(3)

1 1 0_(4)=(1)
0 0 2_(5)=(2)+(1)__________(2)+(1)→ P(2,1;1)
0 0 0_(6)=(3)+(1)__________(3)+(1)→ P(3,1;1)

1 1 0_(7)=(4)
0 0 1_(8)=(5)÷2__________(5)÷2→ P(2;1/2)
0 0 0_(9)=(6)

さらに最後のブロックにおいて2列－1列 (P(1,2;-1)) 3列と2列の交換 (P(2,3)) を行うと

PAQ=(1 0 0,0 1 0,0 0 0)

ここに
P=P(2;1/2)P(3,1;1)P(2,1;1)______Q=P(1,2;-1)P(2,3)

見慣れない記号が読めないのでP,Q の導き方と普通に書くとどうなるのかを教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

その P(なんとか) という記法は、私も見慣れませんが、
質問文の内容から推察すると…

左から掛けたとき、第 m 行の c 倍を第 n 行に足す操作
になるような行列のことを P(n,m;c) と書いているようです。
同じ行列を右から掛けると、
第 m 列の c 倍を第 n 行に足す操作になります。

P(n,m;c) の具体的な行列は、
単位行列の第 m 行 n 列成分を 0 から c へ変更したものです。

P(n,m) は、それとは全く別で、
右から掛けたとき、第 n 列と第 m 列を交換する操作
になる行列ですね。
同じ行列を左から掛けると、
第 n 行と第 m 行を交換する操作になります。

P(n,m) の具体的な行列は、
単位行列の (n,n) 成分と (m,m) 成分を 1 から 0 へ、
(n,m) 成分と (m,n) 成分を 0 から 1 へ変更したものです。

これらを使って、行列の積を
P = P(2;1/2) P(3,1;1) P(2,1;1)
Q = P(1,2;-1) P(2,3)
と名付ければ、質問文どおり、
PAQ =
　　　1 0 0
　　　0 1 0
　　　0 0 0
となりますね。

ここまでやってみると、流石に誰でも、
A が基本変形で単位行列へ変換できないこと
に気付かざるを得ませんが、
No.1 さんの言うように、最初の時点で
det A = 0 に気付いたほうが、スマートです。

お礼

なるほどです。
分かりやすい説明ありがとうございます。

回答No.1

ItachiMasamune

|A|=0なのでAは正則ではありません。
基本変形は正則行列を左からかけることと同じです。
つまり問題はP_n・…・P_2・・P_1・A=Eとせよ、ということですが、そのような正則行列P_n,…,P_2,P_1は存在しません。
基本変形で単位行列にできないと思うんですが・・・
間違っていたらごめんなさい。

お礼

|A|=0に気づけてませんでした。
ありがとうございます。