順列組合せの問題を教えてください。

質問

整数x,y,zに対して、x+y+z=15が成り立っているとき、
次の条件をみたすx,y,zの値の組の個数を求めよ。
という問題で
1)x,y,zがすべて自然数である。
は、
15個の○を2本の｜で３つの区間に分け、この区間に含まれる○の数を左からx,y,zとすると、
x,y,zがすべて自然数になるのは、○と○の間14ヶ所の中から2ヶ所を選んで｜を入れる場合であるので
　14C2=14*13/2*1=91（個）…答え

2)x,y,zがすべて0以上の整数である。
は、
1)で考えた○15個と｜2本の17個のうち、同じもの15個と2個を含む順列と考えればよいので、　
　17!/15!*2!=17*16/2*1=136（個）…答え

というように15個の○と2本の｜を使って一応解いてみたのですが

3)x,y,zがすべて－1以上の整数である。

というものは解法がわかりません。
ご指導のほどをよろしくお願いします。

回答No.4

f272 · ベストアンサー

#1です。
(1)も(2)も(3)もすべて問題の構造はまったく同じなので、まったく同じ方法でとくことができるのに、なぜわざわざ別の考え方をするの？と言ってるんです。

(1)では
x,y,zがすべて1以上の整数で、x+y+z=15のとき、x,y,zの値の組の個数は14C2
としたんですよね。そうすると(2)では、問題が
x+1,y+1,z+1がすべて1以上の整数で(x+1)+(y+1)+(z+1)=18である
となるので
x+1,y+1,z+1の値の組の個数は17C2になる、つまりx,y,zの値の組の個数は17C2になる
になることがわかるはずです。そして(3)は
x,y,zがすべて-1以上の整数でx+y+z=15である
言い換えると
x+2,y+2,z+2がすべて1以上の整数で(x+2)+(y+2)+(z+2)=21である
となるので
x+2,y+2,z+2の値の組の個数は20C2になる、つまりx,y,zの値の組の個数は20C2になる

お礼

ありがとうございます。
私なりにこの問題の解き方をまとめてみました。

＜「チャート式数学A」の解き方（大要）＞
1)x,y,zがすべて自然数である。（x≧1,y≧1,z≧1）
　x-1=X,y-1=Y,z-1=Zとおく（←≧0にするため）
　（x=X+1,y=Y+1,z=Z+1なので、これをx+y+x=15に代入すると）
　(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=15
よって　
　X+Y+Z=12　(X≧0,Y≧0,Z≧0)
　（この整数解の個数は、異なる3種のものから12個を取る重複組合せの数）
なので
　3H12=(3+12-1)C12=14C12=14C2=(14*13)/(2*1)=91（通り）

2)x,y,zがすべて0以上の整数である。＜これが基本型＞
　x+y+z=15　　(x≧0,y≧0,z≧0)
　（この解の組の個数は、異なる3種のもの(x,y,z)）から15個を取り出す重複組合せの数）
なので
　3H15=(3+15-1)C15=17C15=17C2=(17*16)/(2*1)=136（通り）

3)x,y,zがすべて-1以上の整数である。　(x≧-1,y≧-1,z≧-1)
　x+1=X',ｙ+1=Y',z+1=Z'とおく　（←≧0にするため）
　（x=X'-1,y=Y'-1,z=Z'-1なので、これをx+y+z=15に代入すると）
　(X'-1)+(Y'-1)+(Z'-1)=15
よって
　X'+Y'+Z'=18　(X'≧0,Y'≧0,Z'≧0)
　（この整数解の個数は異なる3種のものから18個を取る重複組合せの数）　
なので
　3H18=(3+18-1)C18=20C18=20C2=(20*19)/(2*1)=190（通り）
______________________________________
＜f272さんの解き方＞　（訂正があればお願いします。）
1)x,y,zがすべて自然数である。　(x≧1,y≧1,z≧1)
　x+y+z=15　(x≧1,y≧1,z≧1)
より
　14C2=91（通り）
2)x,y,zがすべて0以上の整数である。　(x≧0,y≧0,z≧0)
　(x+1)+(y+1)+(z+1)=18　(x+1≧1,y+1≧1,z+1≧1)
より
　17C2=136（通り）
3)x,y,zがすべて-1以上の整数である。　(x≧-1,y≧-1,z≧-1)
　(x+2)+(y+2)+(z+2)=21　(x+2≧1,y+2≧1,z+2≧1)
より
　20C2=190（通り）

「チャート式」は、(x≧0,y≧0,z≧0)の場合に帰着させる方法をとり、かたやf272さんは、(x≧1,y≧1,z≧1)の場合に帰着させる方法で解説していただいた訳ですね。
見かけの形が違っていたので始めのうち戸惑いましたが、丁寧な解説をして頂き、ありがとうございました。
蛇足ながら、3)のx,y,zがすべて-1以上の整数である場合を、白丸（○）/仕切り（|）を使って解くことは可能なのでしょうか。もし迷惑でなければ後学のため解説のほどよろしくお願いします。<(_ _)>

回答No.5

f272

#1 & #4です。

> 白丸（○）/仕切り（|）を使って解く
というのがどういう方法を指しているのか良く分かりませんが...

(3)ではx,y,zは-1以上の整数となっています。○や｜の数で表そうとしてもマイナスの数はちょっと考え難いので，x,y,zを直接に○，｜の数に対応付けることはしません。
その代わりに
x+1,y+1,z+1を○の数(=18)だと思って，それぞれが2つの｜で仕切られている（ただし｜は連続していてもよいし，端にあっても良い）と考えるなら，同じもの18個と2個を含む順列だから20!/(18!*2!)です。
x+2,y+2,z+2を○の数(=21)だと思って，それぞれが2つの｜で仕切られている（ただし｜と｜の間にはかならず○が1つ以上あり，かつ｜は端に来ない）と考えるなら20C2です。

お礼

ありがとうございます。
そういうふうに考えるんですか。
実のところまだよくわかっていませんので（笑）、研鑽をつんでみます。
これからもっともっと難しくなってくるんでしょうね（泣）
またよろしくお願いします。

回答No.3

noname#222889

No.2です。
質問内容を勘違いしていたため、回答を撤回します。
申し訳ありませんでした。

お礼

ありがとうございます。
またの機会によろしくお願いします。

回答No.2

noname#222889

設問が何を求めているのか確認しましょう。
それがこの問題を解く最善の解法です。
設問を理解すればおのずと解けるようになります。

回答No.1

f272

x,y,zがすべて0以上の整数でx+y+z=15である。
を言い換えると
x+1,y+1,z+1がすべて1以上の整数で(x+1)+(y+1)+(z+1)=18である。
になります。だから(2)と(1)は全く同じ方法で解けます。
また(3)も全く同じ方法で解けることもわかりますね。

お礼

ありがとうございます。

＞x+1,y+1,z+1がすべて1以上の整数で(x+1)+(y+1)+(z+1)=18である。

　3H18=20C18
　　　=20C2=(20*19)/(2*1)=190（個）…答え
ということでいいのでしょうか？
　(x+1)+(y+1)+(z+1)=18
とすれば、なぜ題意をみたすのかが
感覚としていまいちフィットできませんが。。。