- 締切済み
列ベクトルの線型従属性を最小化する変換法
度々お世話になります。下記の行列の問題で悩んでおります。 ＜問題＞ 既知のM×N実行列Xと，適当なN×K実行列Aを用いて， Y = X A Z = exp(X A) を計算する状況にあります。ただし，N < K < M, rank(X) = N です。また，exp()は()内の行列の各要素に対する演算です。 このとき， (1) Yの各列ベクトル間を可能な限り線型独立に近づける (2) Zの各列ベクトル間を可能な限り線型独立に近づける には，それぞれAを，どのように設定すればよいでしょうか？ ＜自分で考えたこと＞ ○ (1)について，N < Kなので，Yの列ベクトルは線型従属であり，完全な線型独立は実現し得ない。 ○ (1)(2)について，相関係数行列を用いるような，何らかの線型独立性の指標を，数値的に最小化する，という方法はありそう。指標として何が適切かは不明。
- blueblink
- お礼率53% (37/69)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- muturajcp
- ベストアンサー率78% (505/644)
Yの列数はK Yの階数はN N < Kなので，YのK個の列ベクトルは線型従属であり Aをどのように設定しても K次線型従属なものを K次線型独立に近づけることはできない N < Kなので，YのK個の列ベクトルは線型従属だから、 行列YのK次の小行列式はすべて0である。 行列YのN次の小行列式の中に0でないものが存在するとき N次線型独立というのだから N次線型従属に近い (行列YのN次の小行列式の最大値が0に近いが0でないものが存在する) (ランク落ち) N次線型独立はありうるが 行列YのK次の小行列式はすべて0だから 0であるものを0でないものに近づけることはできないから K次線型独立に近いK次線型従属などありえない Yの階数はNだから N次より小さい線形従属に近づける(ランク落ちする)ことはできるが N次より大きい線形独立に近づけることはできない 例) R=(全実数) 0≠x∈Rとするとa∈R,ax=0→a=0だからxは線型独立 0≠a∈R,a0=0だから0は線型従属 線型独立(x≠0)を線型従属(0)に近づけることはできるが 線型従属(0)を線型独立(x≠0)に近づけることはできない
関連するQ&A
- 線形写像と線形変換
線形写像と線形変換 V , W をK上のベクトル空間とする。このときベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像fが、 Vの任意の要素x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fをVからWへの線形写像と言う。 これが線形写像の定義です。 別の記載では、R^n,R^mをk上のベクトル空間とする。このときベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^m への線形写像という。 ここで、テキストにはfがVからV自身への線形写像である時fを線形変換と呼ぶと記載されているのですが、 「VからV自身への線形写像」のイメージがあまりつきません・・・ 次元が同じ場合であれば線形変換？と思ったのですが間違いでしょうか？ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形従属なベクトルの見つけ方
700行700列くらいの正方行列がExcelにあります。 rankをmatlabで計算しますと670くらいとなります。 どこのベクトルが線形従属になっているか探したいのですが方法が思い浮かびません。 どなたかお助けください。お願いします。
- 締切済み
- その他（プログラミング・開発）
- 線形代数 基底、線形従属について
Ｖをベクトル空間とする。ｎ個の線形独立なベクトルx1,x2,…,xn（Ｖの要素）がＶの基底をなすための必要十分条件は、これらに任意のベクトルy（Ｖの要素）を加えたx1,x2,…,xn,yが線形従属となることである。このことを証明せよ。 どのような流れで証明すれば良いのでしょうか？ よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の固有ベクトルについて
[0 2 1 ] [x1] [0] [0 5 2 ] [x2] = [0] [0 -1 2] [x3] [0] としたときの固有ベクトルは行列の基本変形によっては [1] [0] [0] [0] [0] [1] となるのですが、λが違うそれぞれの固有ベクトルが線形独立であればどちらでもいいのでしょうか。 たとえば [0 2 1 ] をそのまま変形した場合と [0 5 2 ] [0 -1 2] 列の交換を施して [ 1 2 0 ] [ 2 5 0 ] [ 2 -1 0 ] とした場合ではどちらが正しいのでしょうか。それともどちらとも正しいのでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形写像と線形変換
線形写像と線形変換 以前、同様の題目で質問させて頂きました。 前回の質問内容：http://okwave.jp/qa/q5940429.html 線形写像と線形変換についての違いは理解出来たのですが、 分からない点があるので新規で質問させて頂きます。 線形写像の定義を表す場合、 R^n,R^mをR上のベクトル空間とする。 ベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^mへの線形写像という。 k∈Rである。 上の記述では何か間違っている点はありますでしょうか？ n次元ベクトル空間はR^nとよく表記されているのを目にします。 Rは実数を表すイニシャルだと認識しています。しかし、kは複素数や虚数でも成り立つと 思うのでk∈Rと言う表現は正しくないのでは？と考えた次第です。 定数倍を表す場合は別の基礎体を考えなければならないと言う事でしょうか？ 基礎体はRではなくKとして表記した方が正しいでしょうか？ また、次元を表すnやmに関してはn,mは実数を前提として基礎体をRとしているので わざわざn,m∈Rと表記する必要は無いと考えているのですが、n,m∈Rも表記した方が 良いのでしょうか？ 初歩的な質問で大変恐縮ですがご回答よろしくお願い致します。 初歩的な質問ですいません・・・よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列 行ベクトル 列ベクトル について
行列は見方を変えるとベクトルの集まりだと考える事ができる と思います。 質問なのですが、 X=（x1,x2） Y=（y1,y2） というベクトルを行列として見ると、 （x1 x2） （y1 y2） のように表されると思います。 ここで質問なのですが、 行列は、行ベクトルを縦に並べたもの、又は列ベクトル を横に並べたものと説明がありました。 列ベクトルとはXベクトルを （x1） （x2） と表したベクトルだと理解しています。 テキストにもこのように記載されています。 列ベクトルを横に並べたものとは、 （x1 y1） （x2 y2） となって上の行列と違います。 それとも、列ベクトルとは、 （x1） （y1） の事ですか？ （x1） （y1） ってどんなベクトルなんでしょうか？ 与えられた（仮定した）ベクトルは、 X=（x1,x2） Y=（y1,y2） ですよね・・・ 良くわかりません・・・ 列ベクトルを横に並べたものと言う説明がおかしいの でしょうか？ 列ベクトルとはどのようなものか教えて頂けないでしょうか？ 行列の積を考える場合、それぞれの型を考えて行列を作ります。 （X Y）（x1 x2） （y1 y2） や （x1 y1）(X) （x2 y2）(Y) 今回は、行列だけなので、 （x1 x2） （y1 y2） と （x1 y1） （x2 y2） は、行列式も同じになるので特に困った事には成らないのでしょうか？ 上の行列2つは転置行列になります。 X=（x1,x2） Y=（y1,y2） のベクトルを行列として表す場合、 （x1 x2） （y1 y2） と表しても、 （x1 y1） （x2 y2） と表してもどちらも間違いではないのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形従属ならば|A|=0であることを証明したいのですが・・・。
ｎ次正方行列 A=a_11 a_12 ・・・ a_1n a_21 a_22 ・・・ a_2n ・ ・ ・・・ ・ ・ ・ ・・・ ・ ・ ・ ・・・ ・ a_n1 a_n2 ・・・ a_nn についてAを構成するｎ個の列ベクトル x_1=a_11 x_2=a_12 ,,,, x_n=a_1n a_21 a_22 a_2n ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ a_n1 a_n2 a_nn が線形従属ならば|A|=0であることを証明せよ。 ---- 何をどうしたらいいのか、全く手がでません。 ヒントでかまわないです。 どなたかお分かりになる方、ご教授ください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形変換と表現行列
少し長いですが、線形変換と表現行列についてです。 ------------------------------------------------ 平面のベクトル全体を V^2 として、V^2 の元a を、座標系Γに関して、方程式 g: 2x-3y+1=0, h: x+2y-3=0 で、gに沿ってhに平行射影する V^2 の線形変換Ｔの、Γの基本ベクトル{e1, e2}に関する行列（表現行列？）を求めよ --------------------------------------------------- という問題にて、 g の方向ベクトル a1=(3, 2) h の方向ベクトル a2=(-2, 1) として、 λa1 + μa2 = e1 ・・・(*) λ'a1 + μ'a2 = e2 ・・・(**) を解いて得た、μ, μ'を使って [ μa2 μ'a2 ] が求める行列だから・・・ と解説に書いてあるのですが、何故(*), (**) の式を立てるのかがわかりません。 線形変換である点と、自然基底である点から、 座標系Γの点 X=(x1, x2)を条件にしたがって平行射影し、h上にのっかた点を Y=(y1, y2)として Y = AX となるような線形変換のAを求めればいいのかな？なんて思っていたのですが・・・。 (表現行列は、基底が自然基底で、同じ線形部分空間への写像であれば、そういう風に求められるということが書いてあった気がしたので・・・） 第一、なんで直線h の切片 情報が使われていないかがわかりません＾＾； 問題をかなり変に解釈してしまっているのだと思いますが、これはどういうことなのでしょうか。 アドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
