数式の証明

質問

nが自然数のとき、n(n+1)(2n+1)は６の倍数であることを証明しなさい。
この問題分かる方、解説お願いします。

回答No.7

mister_moonlight

こんな簡単な問題に、数学的帰納法なんか不要。

n(n+1)(2n+1)＝2n＾3＋3n＾2＋n＝2*（n＾3-n）＋3*（n＾2＋n）＝2*（n-1）*（n）*（n+1）＋3*（n）*（n+1）と変形できる。
（n-1）*（n）*（n+1）は3連続する自然数の積から、6の倍数。
又、（n）*（n+1）は連続する自然数の積から2の倍数であるから、3*（n）*（n+1）は6の倍数。
以上から、n(n+1)(2n+1)は6の倍数。

回答No.6

Tacosan

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 を帰納法で示す.

回答No.5

RitsueiJuk

嘗て千葉大に類題が出題されました。

自然数nは3k, 3k+1, 3k+2と３つの形で必ず表す事が出来る。
全部代入すると全てで3をくくり出せるので３の倍数は言えます。あとは、自然数sと自然数s+1があればどちらかが偶数である為３と２を因数に持つ自然数は６の倍数になると言えます。

回答No.4

gohtraw

ｎあるいはｎ＋１のいずれかは偶数なのでｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）も偶数になります。
　ｎあるいはｎ＋１が３の倍数の場合、ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）は明らかに６の倍数です。
　ｎ、ｎ＋１のいずれも３の倍数ではない場合、これらは３ｍ＋１、３ｍ＋２と表わされ、このとき２ｎ＋１＝２（３ｍ＋１）＋１＝６ｍ＋３なので２ｎ＋１が３の倍数になります。

回答No.3

proto

数学的帰納法で証明すると。

n=1のとき、
　　1*(1+1)*(2*1+1) = 6
よって成り立つ。

n=kのとき成り立つと仮定すると、即ちmを整数として
　　k(k+1)(2k+1) = 6m
が成り立つと仮定すると、
n=k+1のとき
　　(k+1)(k+2)(2k+3) = (k+2)*{(k+1)(2k+3)} = k(k+1)(2k+3) + 2(k+1)(2k+3)
　　　　　　　　　　 = ((2k+1)+2)*{k(k+1)} + 2(k+1)(2k+3) = k(k+1)(2k+1) + 2k(k+1) + 2(k+1)(2k+3)
　　　　　　　　　　 = 6m + 2k(k+1) + 2(k+1)(2k+3)
　　　　　　　　　　 = 6m +2(3k^2+6k+3) = 6m + 6(k^2+k+1)
　　　　　　　　　　 = 6(m+k^2+k+1)
m+k^2+k+1は整数より、n=k+1のときも成り立つ。
よって数学的帰納法より、n≧1なる全ての自然数について成り立つ。

回答No.2

himajin100000

タイプミス
×= 6(a + (k+1))^2

○= 6(a + (k+1)^2)

回答No.1

himajin100000

題意を数学的帰納法を用いて示す。

i)n = 1のとき

1*2*3 = 6

よって題意は満たされる

ii)n = kのとき題意が成り立つと仮定すると,

整数aを用いて

(k^2 + k)(2k + 1) = 6a

とかけ

2k^3 + 3k^2 + k = 6a
と変形できる。

これを用いて
n = k + 1のとき成り立つことを示す。

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
= (k^2 + 3k + 2)(2k + 3)
= 2k^3 + 9k^2 + 13k + 6
= (2k^3 + 3k^2 + k) + 6(k+1)^2
= 6(a + (k+1))^2

よって,n = k + 1の時も題意を満たす。

i)ii)より数学的帰納法に基づき,題意は満たされる。
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もっと楽な解き方もあるかもしれないけど,証明はこれが書きやすいかな,と思って。