エルデスシュトラウスの予想の証明とは?

このQ&Aのポイント
  • エルデス・シュトラウスの予想は、Nを2以上の自然数とすると、4/N=1/X+1/Y+1/Zを満たす自然数X・Y・Zが必ず存在するというものです。
  • 予想の証明には、2/N公式を使います。具体的には、Nが偶数の場合と奇数の場合について考えます。
  • また、N=3n+2でNが奇数の場合にも、2/N公式を使って予想が成立することを示すことができます。
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エルデスシュトラウスの予想が、証明出来ました。

Nを2以上の自然数とすると、4/N=1/X+1/Y+1/Zを満たす自然数X・Y・Zが必ず存在するとエルデス・シュトラウスは予想しました。 4/Nの塊を、1/Xと1/Yと1/Zとの3つに分ける事自体は簡単です。X・Y・Zが無理数でも良いのなら、適当に3分割すればよろしい。Nが如何なる2以上の自然数となっても、X・Y・Zには、小数点以下の端数が付いてはならない点が、この予想の証明の難しいところです。 (1)(1/N)×(N/N)と(2)(1/N)×(N/N+1)と(3)(1/N)×(1/N+1)との3つの塊を考えます。(1)は1/Nです。(2)は(1/N+1)です。(3)は(1/N(N+1))です。(1)(2)(3)とも全て、分子は1で、分母は自然数です。また、(2)+(3)=(1/N)×(N/N+1)+(1/N)×(1/N+1)=(1/N)×(N+1)/(N+1)=1/Nとなります。故に(1)+(2)+(3)=2/Nとなります。従って、2/N=1/N+(1/N+1)+(1/N(N+1))(2/N公式と呼ぶ)は常に成立します。Nにさまざまな自然数を入れて見てください。この数式を基礎として、4/N=1/N+(1/N+1)+(1/N(N+1))が成立することを証明出来るでしょうか。 Nが偶数の時、2/N公式にNの半分の値を当てはめると、求める式は出来上がります。例えばN=22の場合、11を使います。2/11=(1/11)+(1/12)+(1/(11×12))=(1/11)+(1/12)+(1/122)=24/122=4/22となります。 Nが奇数の時、Nは3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2の3通りがあります。N=3nの時、(1)の式にはnを使います。分母を1/3にする為、(1)の値は3倍になります。(2)+(3)の式にはNを使いますので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)=4/Nとなります。例えばN=9の場合、(1/3)+(1/10)+(1/90)=40/90=4/9となります。 N=3n+2の時、(2)+(3)の式のN+1の値が3n+2+1=3(n+1)と3の倍数になるので、(2)+(3)の式にN+1の替りに、n+1を使います(分子のNはそのままです)。分母を1/3にする為、(2)+(3)の値は3倍になります。(1)の式にはNを使うので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)=4/Nとなります。例えばN=11のとき(1/11)+(1/4)+(1/44)=16/44=4/11となります。 次ぎに、N=3n+2でNが奇数の時です。2/N公式では、(2)+(3)は1/Nです。分母にどの様な自然数を掛けても、分子は1なので、要件を満たします。つまり、(2)+(3)は、1/2N・1/3N・1/4N・1/5N・1/6N・1/7N・・・と自由に選択出来ます。Nに1を足して4の倍数になる場合、(N+1=4nの時)(1)式中のNの替りに倍数nを使います。(2)+(3)式の分母には、自由に自然数を掛けられるので、倍数nを掛けます。(2)+(3)=1/Nn=(1/2Nn)+(1/2Nn)とします。例えばN=19の時、19+1=20=5×4なので倍数5を使います。(1/5)+(1/190)+(1/190)=40/190=4/19となります。 残ったのは、N=3n+2且つ、N=4n-3且つ、Nが奇数の時です。即ちN=12n+1の数列で、具体的には、13・25・37・49・61・85・97・109・・・です。 これらの数値(Rとする)は、2乗で表せます。13=2×2+3×3、25=3×3+4×4、37=6×6+1×1、49=7×7、61=5×5+6×6、85=9×9+2×2、97=9×9+4×4、109=10×10+3×3・・・等です。4/(Rの2乗)=(2/R)の2乗なので、この場合も2/N公式により、予想は成立します。 従って、Nを2以上の自然数とすると、4/N=1/X+1/Y+1/Zを満たす自然数X・Y・Zが必ず存在すると言えます。

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390131
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