無限級数の和の問題

質問

Σ_{n=1}^{∞}{n/(2^n)}
の解き方が分かる人アドバイスください。
解答は、２とあるのですがどうしてそうなるのかわかりません。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

n=1～∞の和を求める場合、n=1～mと有限の和を求めてm→∞の極限をとるのが通常です。
（mの値について場合分けが必要な場合は、それぞれの場合での極限を考えなければなりません）

いまの問題もまず有限の和を求めます。
#1さんの書かれているとおり、
S=Σ_{n=1～m} n*(1/2)^nの和を計算するには1/2を掛け合わせた 1/2*Sとの差を計算します。
これは、一般項が（等差数列）×（等比数列）となるときの和の求め方です。
その後、m→∞の極限をとります。

お礼

理解できました。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

S=Σ_{n=1}^{∞}{n/(2^n)} とおいて S - (1/2)S を計算するというのがセオリー.
あるいは 1+x+x^2+... = 1/(1-x) の両辺を x で微分するもよし.

お礼

まだよくわかりません。
もう少し詳しく教えていただけるとありがたいです。