GF(2^8)からGF((2^4)^2)への変換とは？

質問

• GF(2^8)からGF((2^4)^2)への変換について質問しています。
• GF(2^8)とGF((2^4)^2)の生成多項式と元のつくり方について説明しています。
• GF(2^8)からGF((2^4)^2)への変換手順について悩んでいる状況を述べています。

回答No.9

reiman

【GF(2^4)→GF(2^8)】
GF(2)→GF(2^8)の生成多項式として
x^8+x^4+x^3+x^2+1
を使い
GF(2)→GF(2^4)の生成多項式として
x^4+x+1
を使い
GF(2^4)→GF(2^8)の生成多項式として
x^2+ax+b　(a,b∈GF(2^4))
を使うとし
GF(2^4)の生成元をβとし
GF(2^8)の生成元をγとする。
すると以下が成立する。
γ^8+γ^4+γ^3+γ^2+1=0…(1)
β^4+β+1=0…(2)
γ^2+aγ+b=0…(3)
β=β[0]+β[1]γ+β[2]γ^2+β[3]γ^3+β[4]γ^4+β[5]γ^5+β[6]γ^6+β[7]γ^7
(β[0],β[1],β[2],β[3],β[4],β[5],β[6],β[7]∈GF(2))
とし
(2)に代入して(1)を使って7次以下のγの多項式にして
γのべき乗の係数を0としてβをγの式として求める。
β[1]=β[2]=β[5]=β[6]=0
β[3]=β[4]=β[7]=1
なおβ[0]=0とおく。(β[0]は任意に設定できる。)
よって
β=γ^3+γ^4+γ^7…(4)
同様に
a=a[0]+a[1]β+a[2]β^2+a[3]β^3　(a[0],a[1],a[2],a[3]∈GF(2))
b=b[0]+b[1]β+b[2]β^2+b[3]β^3　(b[0],b[1],b[2],b[3]∈GF(2))
とおき(1),(3),(4)に代入して
a[0],a[1],a[2],a[3],b[0],b[1],b[2],b[3]
を求めると
a[0]=a[1]=a[3]=b[0]=b[2]=b[3]=0
b[1]=a[2]=1
よって
a=β^2…(5)
b=β…(6)
(1),(4)を使い以下が分かる。
β^0=1
β^1=γ^3+γ^4+γ^7
β^2=γ+γ^2+γ^3+γ^6
β^3=γ+γ^3
γβ^0=γ
γβ^1=1+γ^2+γ^3+γ^5
γβ^2=γ^2+γ^3+γ^4+γ^7
γβ^3=γ^2+γ^4
R^T=[γ^0　γ^1　γ^2　γ^3　γ^4　γ^5　γ^6　γ^7]
B^T=[β^0　β^1　β^2　β^3　γβ^0　γβ^1　γβ^2　γβ^3]
G=
[1 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 1 1 0 0 1]
[0 1 1 1 0 0 1 0]
[0 1 0 1 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0 0 0 0]
[1 0 1 1 0 1 0 0]
[0 0 1 1 1 0 0 1]
[0 0 1 0 1 0 0 0]
とおくと
B=GR…(7)
とできる。
一方
GF(2)上の8次元列ベクトルx,yにより
R^Tx=B^Ty
ならば(7)により
R^Tx=(GR)^Ty
すなわち
x=G^Ty
A=(G^T)^-1=
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 0 1 0 1 1 1 0]
[0 0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 1 0 1 1 1]
[0 1 0 1 0 1 0 1]
[0 0 0 0 0 1 0 0]
[0 0 1 0 1 1 1 1]
[0 0 0 0 1 0 0 1]
とおくと
y=Ax

【GF(2^2)→GF(2^4)】
GF(2)→GF(2^4)の生成多項式として
x^4+x+1
を使い
GF(2)→GF(2^2)の生成多項式として
x^2+x+1
を使い
GF(2^2)→GF(2^4)の生成多項式として
x^2+ax+b　(a,b∈GF(2^2))
を使うとし
GF(2^2)の生成元をαとし
GF(2^4)の生成元をβとする。
すると以下が成立する。
β^4+β+1=0…(1)
α^2+α+1=0…(2)
β^2+aβ+b=0…(3)
α=α[0]+α[1]β+α[2]β^2+α[3]β^3　(α[0],α[1],α[2],α[3]∈GF(2))
とし
(2)に代入して(1)を使って3次以下のβの多項式にして
βのべき乗の係数を0としてαをβの式として求める。
α[0]=0
α[1]=1
α[2]=1
α[3]=0
なおα[0]=0とおく。(α[0]は任意に設定できる。)
よって
α=β^2+β…(4)
同様に
a=a[0]+a[1]α　(a[0],a[1]∈GF(2))
b=b[0]+b[1]α　(b[0],b[1]∈GF(2))
とおき(1),(3),(4)に代入して
a[0],a[1],b[0],b[1]
を求めると
a[0]=1
a[1]=0
b[0]=0
b[1]=1
よって
a=1…(5)
b=α…(6)
(1),(4)を使い以下が分かる。
α^0=1
α^1=β^2+β
βα^0=β
βα^1=β^3+β^2
R^T=[β^0　β^1　β^2　β^3]
B^T=[α^0　α^1　βα^0　βα^1]
G=
［１　０　０　０］
［０　１　１　０］
［０　１　０　０］
［０　０　１　１］
とおくと
B=GR…(7)
とできる。
一方
GF(2)上の4次元列ベクトルx,yにより
R^Tx=B^Ty
ならば(7)により
R^Tx=(GR)^Ty
すなわち
x=G^Ty
A=(G^T)^-1=
［１　０　０　０］
［０　０　１　１］
［０　１　１　１］
［０　０　０　１］
とおくと
y=Ax