等エントロピー過程における温度変化
- 等エントロピー過程における温度変化の式を求める際に、簡単に求める方法があるかどうかについての質問です。
- 1モルの理想気体を等エントロピー下で圧力P(0)をP(1)まで減圧し膨張させた際の温度を、式を用いて表現する方法について迷っています。
- 解答を求めた結果が非常に複雑になってしまい、もっと簡単な方法があるのかどうか知りたいです。
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等エントロピー過程における温度変化
1モルの理想気体を等エントロピー下で圧力P(0)をP(1)まで減圧し膨張させた。 その時の温度をP(1)、P(0)、T(0)、R、Cvを用いて表わせ（R：気体定数、Cv：等積比熱） という問題なのですが、答えがいまいちパッとでません・・ 等エントロピーということはΔQ=0、 となり第一法則は、ΔU+PΔV=0 となるとおもいます。これをCvΔT＝-PΔV に変形し、さらにCvΔT=-RTΔV/V そしてさらに、CvΔT/T=-RΔV/Vにして T T(0)→T(1) V V(0)→V(1)とし、両辺積分しました。 すると、F(T(0),T(1))=G(V(0),V(1)) の等式が得られ、この式のV(1)部分に V(1)=RT(1)/P(1)を代入し、T(1)を求めたのですが、 答えが非常に煩雑な答えになってしまいました。 自分の解答は合っているのでしょうか？ もっと、簡単に求める方法がありそうな気がしてなりません。 よろしくお願い致します。
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(Cv/T)dT=-(R/V)dV までは問題ないですね。これを積分すると Cvln(T1/T0)=-Rln(V1/V0)=Rln(V0/V1)...(1) となりますね。Cv/R=cと書くことにすれば (T1/T0)^c=V0/V1...(2) となります。ところでP0V0=RT0, P1V1=RT1から V0/V1=(T0/T1)(P1/P0)...(3) ですから (T1/T0)^c=(T0/T1)(P1/P0) (T1/T0)^(c+1)=P1/P0...(4) となります。ところで Cp-Cv=R Cp/Cv-1=R/Cv=1/c 即ち γ-1=1/c よって 1/(c+1)=1-1/γ だから T1/T0=(P1/P0)^(1-1/γ) でないですか？1-1/γという書き方がよくないならもどして 1-1/γ=1-Cv/Cp=1-Cv/(Cv+R)=R/(Cv+R) となりますが...
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お礼
ご解答ありがとうございました。 すごいですね！ポアソン比使うことで ずいぶんスッキリとした形になるんですね。 ちょっと感動しました 自分の過程も、そこまでそれてない事が分かり安心しました。 ありがとうございました