モーメント推定量
- モーメント推定量を求めるためには、X, Y, Zの分布からの無作為標本を用いて、a, b, c, dの値を推定する必要があります。
- また、UとXの同時分布が正規分布である場合、UとXは独立であることが示されます。
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モーメント推定量
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> １）（X、Y、Z）の定める分布からのn個の無作為標本（x１、y１、z１）、…、（xn,yn,zn）が得られたとき、a,b,c,dのモーメント推定量を求めよ。 モーメント推定量が良くわかっていないので間違っているかもしれませんが… E[XU] = E[X(Y - aX)/b] = E[XY]/b - aE[X^2]/b = 0 から a = E[XY]/E[X^2] となるので、(Σxiyi)/(Σxi^2)がaの推定量となる。 また、Y=aX+bUでX,Y,Uが標準正規分布に従うことから、 E[Y^2] = E[(aX + bU)^2] = a^2 E[X^2] + 2ab E[XU] + b^2 E[U^2] = a^2 + b^2 = 1 となり、b > 0であることから√{1 - (Σxiyi)^2/(Σxi^2)^2}がbの推定量となる。 c, dも同様。 > ２）（U,X）の同時分布も正規分布であるとき、UとXが独立であることを示せ。 「（U,X）の同時分布も正規分布であるとき」というのは、二変量正規分布であるということでしょうか？ そうであるなら、XとUの共分散が Cov(X, U) = E[XU] - E[X]E[U] = 0 となり、XとUの同時密度関数をXとUの周辺確率関数の積で表せることから独立であることを示せます。
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